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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
September/Oktober 2002

Aufgabe 1:

a)

Es gibt unendlich viele palindrome Zahlen.

b)

Es gibt in diesem Jahrhundert keine palindrome Jahreszahl mehr,  weil die Null an der zweiten Stelle stehen bleiben muss.

c)

Es gibt in diesem Jahr ein palindromes Datum: den 20.02.2002
oder unter Berücksichtigung der Uhrzeit: den 11.11.2002 11.11 Uhr

d)

Unter 10.000 gibt es 9 einstellige, 9 zweistellige, jeweils 90 drei- und vierstellige palindrome Zahlen.

  1. Davon sind prim:
    151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929
  2. Es gibt keine vierstelligen palindromen Primzahlen, weil alle mindestens die 11 als Teiler besitzen.

e)

Da es 900 fünf- bzw. sechsstellige Palindrome gibt, erhalten wir 1998 gesuchte Zahlen unter 1.000.000.

f)

Palindrome Zahlen unter 1.000.000, deren Quadratwurzel ebenfalls ein Palindrom ist:

Hier findet man durch Suchen und Ausprobieren folgende Zahlen:

Aufgabe 2:

In der unteren Reihe lassen sich 8 Kreise mit d = 1 einfügen. Würde man in jeder Reihe so fortfahren, ließen sich genau 64 Kreise in das Quadrat einzeichnen.
Zeichnet man jedoch in die 2. Reihe sieben Kreise so ein, dass diese sich quasi dicht über die erste Reihe legen, somit ein Kreis der 2. Reihe zwei Kreise der ersten Reihe berührt, dann entstehen, wenn man die Mittelpunkte dieser drei Kreise verbindet, gleichseitige Dreiecke.
Legt man so über die Siebener Reihe wieder eine Achter Reihe von Kreisen, usw. dann lassen sich in unser Quadrat fünf Zeilen zu 8 Kreisen und vier Zeilen zu 7 Kreisen einschreiben.
Die Höhe des oben beschriebenen Dreiecks beträgt
.

Die Höhe des soeben beschriebenen Konstrukts beträgt demnach:

Somit lassen sich 68 Kreise in das Quadrat einfügen.
Eine solche Lösung existiert erst für Quadrate der Seitenlänge 8.

Aufgabe 3:

Der Ball legt also theoretisch maximal 90m zurück.