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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 11 bis 13
November/Dezember 2002

Aufgabe 1:

a.
In der folgenden Tabelle wurden zuerst die Felder der zweiten Spalte (Geschwindigkeit), dann die der ersten Spalte und schließlich unter Verwendung der Beziehung t = s : v die Felder des linken Teils der 3. Spalte ausgefüllt.
W1,2,3: Weihnachtsmann 1, 2, 3
A: Himmelspforte
B: Christkindldorf

 

Weg
in km

Geschwindigkeit
in km/h

Zeit
in h

W1 auf

s

4

s : 4 t

W1 auf

s : 2

x

s : (2x) ta + tb

W1 auf

s : 2

6

s : 12 tb

W2,3 auf

s : 2

(x + 6) : 2

s : (x + 6) tc

Für die gesamte Zeit gilt: t = 2ta + tb + tc
t = 2(ta + tb) - tb + tc
s : 4 = 2 (s : (2x)) - s : 12 + s : (x + 6) 1 : 3 = 1 : x + 1 : (x + 6)
woraus dann x2 = 18 und wegen x > 0 x = 3 = 4,24 (in km/h) folgt.
Aus der Rechnung ist zu ersehen, dass sich weder Streckenlängen noch Teilzeiten konkret berechnen lassen, wenn s nicht gegeben ist.

b.
Der erste Weihnachtsmann hat 13,8% des Gesamtweges zu dem Zeitpunkt als der zweite Weihnachtsmann und 27,7% des Gesamtweges als der dritte Weihnachtsmann von Himmelspforte aus aufbrach zurückgelegt.

Aufgabe 2:

siehe Lösung Aufgabe 2 Klasse 9/10

Aufgabe 3:

a.
Gleichseitige Dreiecke entstehen, wenn ein Schnitt so gelegt wird, dass die von einem Eckpunkt aus gemessenen Abschnitte gleich lang sind.

Für das größte gleichseitige Dreieck gilt: (Seitenlänge) und Daraus ergibt sich für den Flächeninhalt:

b.
Quadrate entstehen durch Schnitte parallel zu einer Seitenfläche. Quadrate können auch "schräg" in einen Würfel eingepaßt werden.
zu den Seitenflächen parallele Quadrate: Flächeneinheiten
schräg eingepasste Quadrate:
Die Seitenlängen des eingepassten Quadrats müssen gleich lang sein.
x, y :Kantenabschnitte der Würfelkanten beim eingepassten Quadrat.
Daraus folgt: (1)
Damit es sich um ein Quadrat handelt, reicht es nicht aus, dass die Seiten des Vierecks gleich lang sind. Zusätzlich müssen beispielsweise die Diagonalen noch gleich lang sein. Für die Diagonalen gilt (Pythagoras):
daraus folgt: (2)
aus (1) und (2) ergibt sich: x = 0,75a und y = 0,75a
Das größte Quadrat, das einem Würfel mit der Kantenlänge a eingepasst werden kann, hat demnach die Kantenlänge
Für den Flächeninhalt gilt: A = 1,125a Flächeneinheiten.

c.
Fünfeckige Schnittflächen sind in keinem Fall regelmäßig, weil nicht zwei Seiten in einem Fünfeck parallel sein können.

d.
Regelmäßige Sechsecke entstehen, wenn der Schnitt so geführt wird, dass er alle Würfelseiten trifft und durch die Kantenmitten geht.

Das regelmäßige Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge und der Höhe
Daraus ergibt sich der Flächeninhalt .