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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 1 bis 4
Januar/Februar 2003

Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Oberstufe
Juni/Juli 2003

Aufgabe 1:

Um den kürzesten Weg zu erhalten, muss man den Quader wie folgt als Netz darstellen. Die Pfeilspitzen bezeichnen den Start – bzw. den Endpunkt der Spinne. 

Die Spinne läuft hier schräg über die Seitenwände. Dafür muss die Spinne den folgenden Weg zurücklegen:

Der kürzeste Weg der Spinne beträgt demnach rund 8,14 m.

Aufgabe 2:

a)
Der Jäger Rombach legt nach Aufgabenstellung den Weg mit der Geschwindigkeit von
5 km/h zurück.
Der Hund läuft unabhängig von der Richtung seines Weges genau wie sein Herrchen auch
1 Stunde lang ununterbrochen mit der konstanten Geschwindigkeit von 10 km/h
Folglich legt der Hund in dieser Stunde 20 km zurück.

b)
Der Hund Senta ist jetzt sogar 3 mal so schnell wie sein Herr, also legt es in einer Stunde die dreifache Strecke, also hier 3*5 km = 15 km zurück.

c)
Aufgrund der Überlegungen zu b) und c) folgt, dass Senta 5*n km zurück legt.

Aufgabe 3:

Drei mögliche Beispiele:
a)147 + 741 + 258 + 852 + 369 + 963 = 3330
b) 148 + 841 + 257 + 752 + 369 + 963 = 3330
c) 147 + 741 + 259 + 952 + 368 + 863 = 3330

Ein möglichen Gegenbeispiel:
d) 159 + 951 + 368 + 863 + 478 + 874 = 3693

Der Grund für das Ergebnis 3330 ist ersichtlich, wenn man die Einer, Zehner und Hunderter getrennt addiert:

Beispiel a):

Einer:   1+7+2+8+9+3
Zehner: 4+4+5+5+6+6
Hunderter: 7+1+8+2+3+9

Sortiert man die Zahlen nun so um, dass die benachbarten zusammen 10 ergeben, so erhält man:

Einer: 3+7+1+9+6+4 1+9+7+3+2+8
Zehner: 2+8+2+8+5+5 4+6+4+6+5+5
Hunderter: 1+9+3+7+4+6 7+3+1+9+8+2

Man erhält also jeweils 3 Pärchen, die zusammen die Summe 10 bilden, also hat jede Stelle die Summe 30!

Man erhält also in beiden Fällen:

30*100 +30 *10 + 30 *1 = 3000+300+30 = 3330

Die Zahlen müssen also gewählt werden, dass sich die Einer, Zehner, Hunderter usw. immer paarweise zu 10 addieren!

Allgemein gilt für die neun Zahlen:

abc + cba + efg + gfe + hij + jhi .

Schreibweise in der Stellenwerttafel wobei für die Variablen a, b, ..., j gilt: 0< a, b, ..., j <10 und paarweise verschieden.

=100a + 10b + c + 100c + 10b + a + 100e + 10f + g + e + 10 f + 100g + 100h + 10i + j + 100j + 10h + i

= 101a + 101c + 101e + 101g + 101h + 101j + 20b + 20f + 20i

= 101(a + c + e + g + h + j) + 20(b + f + i)

dies soll 3330 ergeben.

3330 kann man in 3030 und 300 zerlegen. Da 30*101 = 3030 und 15*20 = 300 ergeben ergibt sich folgende Bestimmungsgleichungen:

I)         a + c + e + g + h + j = 30

II)        b + f + i = 15 und III) ergibt sich aus der Bedingung

Diese Gleichungen geben auch gleichzeitig die Bedingungen an, die erfüllt sein müssen.