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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Klassen 7/8
August/Oktober 2003

Aufgabe 1:

  1. 9 Stufen ("Schichten") hat die Stufenpyramide aus Tennisbällen Die erste Stufe hat 92 Bälle, die zweite Stufe 82 Bälle, dann 72 Bälle, u.s.w. Insgesamt sind es 12+22+32+42+...+92 =285 Bälle.
  2. Offenbar handelt es sich um die Summe der ersten 20 Quadratzahlen. Da lohnt es sich nachzuschlagen: Die Summe der ersten n Quadratzahlen kann mit n(n+1)(2n+1):6 berechnet werden, also 20·21·41:6 = 2870.

Aufgabe 2:

  1. Die Zahlen 29 und 3 erfüllen die Forderungen und liefern 141, ein zugelassenes Ergebnis.
  2. Es gibt noch mehr Lösungen. Folgende Zahlenpaare erfüllen auch die Bedingungen: (37/2), (13/9).
  3. Hierzu ist es erforderlich, alle Lösungspaare zu finden:
    Nennen wir die größere Zahl m (Minuend) und die kleinere s (Subtrahend);
    dann gilt 140 < (m+s) + (m-s) + m·s < 150,  m+s+m-s+ms = 2m+ms = m(2+s)
m(2+s) 141 142 143 145 146 147 147 148 148 149
s+2 3 2 11 5 2 3 7 2 4 -
m 47 71 13 29 73 49 21 74 37 -
s 1 0 9 3 0 1 5 0 2 -
Lösung ? - - ja ja - - ja - ja --

Erstaunlicherweise gibt es nur vier Möglichkeiten unter diesen Bedingungen, folglich wird Yolanthe mit der Wahrscheinlichkeit ¼ ein richtiges von vier möglichen Zahlenpaaren nennen.

Aufgabe 3:

Hier fängt man am besten klein an:

  1  
 1  1 
1  2  1

Die Anzahl der Ketten aus den bunten Buchstaben ist genauso groß wie die Anzahl der Wege die von oben zu den Kettengliedern (=Buchstaben) darunter führen; in dieser Tabelle ist die Anzahl der Wege aufgeführt:

   1  
  1  1 
 1  2  1
1  3  3 
 4  6   
  10   

Wir erkennen: Nach außen führt nur ein Weg, nach innen lässt sich die Anzahl der Wege als Summe der Anzahlen der darüber stehenden Wegeanzahlen ermitteln; denn nur die diagonal darüber befindlichen Buchstaben kommen bei der Kettenbildung in Betracht.
Auf diese Weise lässt sich das Berechnungsschema auf die Buchstabentafel übertragen (s.u.) und wir ermitteln 732 mögliche Wege, also 732 mögliche Verkettungen der Buchstaben.

        K       
       1  N      
      1  2  O     
     1  3  B  1    
    1  4  6  E  1   
   1  5  10  L  5  1  

 

 1

 

 6

 

 15

 

 20

 

 A

 

 6

 

 1

 

(1)  7  21  35  35  U  7  (1)
  (  )  28  56  70  56  F  (  ) 
     84  126  126  G    
      210  256  A     
       366  B      
        732