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Mathe-Treff: Lösungen der Knobelaufgaben
für die Oberstufe
August/Oktober 2003

Aufgabe 1:

  1. 9 Stufen ("Schichten") hat die Stufenpyramide aus Tennisbällen Die erste Stufe hat 92 Bälle, die zweite Stufe 82 Bälle, dann 72 Bälle, u.s.w. Insgesamt sind es 12+22+32+42+...+92 =285 Bälle.
  2. Offenbar handelt es sich um die Summe der ersten n Quadratzahlen.Da lohnt es sich nachzuschlagen: Die Summe der ersten n Quadratzahlen kann mit n(n+1)(2n+1):6 berechnet werden;  oder aus der Tabelle lesen wir ab 24·25·49 :6 = 4900 = 702. Ja, es ist möglich: Es sind in einer 24-stufigen Pyramide 4900 Bälle untergebracht.
  3. Die Mittelpunkte geeigneter benachbarter Bälle aus drei Stufen (z.B. 1 aus Stufe 1, 4 aus Stufe 2, 1 aus Stufe 3) sollen die Positionen der Eckpunkte eines Oktaeders haben. Dann kann man einen senkrechten Schnitt durch 4 Mittelpunkte legen; die Entfernung des unteren vom oberen Mittelpunkt ist die Länge der Diagonale des Quadrates, das durch die vier Mittelpunkte gebildet wird , r als Ballkugelradius; das wiederum bedeutet: Die Mittelpunkte liegen in parallelen Ebenen mit einem Abstand von . Für die Berechnung der Höhe kommen noch zwei Radien hinzu (vom Boden, bis zum höchsten Punkt) ; bei gemessenem Durchmesser von ca. 7cm ist die Super-Ball-Pyramide ca. 121cm hoch Berücksichtigung der Genauigkeit der Messgröße).
  4. Die Anzahlen der Bälle, die in Form eines Dreiecks zusammengelegt werden können, sind (1), 3, 6, 10, 15, 21, ...; sie entsprechen also der Summe der ersten n natürlichen Zahlen, die mit dem Term beschrieben und berechnet werden kann. Prüfen wir den Ausdruck
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
n2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
Σn2 1 5 14 30 55 91 140 204 285 385 506 650 819 1015 1240 1496 1785 2109 2470
                    
n 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
n2 400 441 484 529 576625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 1225
Σn2287033113795432449005256201693077148555 9455 10416 11440 12529 13685 14910
      !           

Aufgabe 2:

  1. Die Zahlen 24 und 6 erfüllen die Forderungen und liefern 196, das zugelassene Ergebnis.
  2. Zunächst untersuchen wir, ob es eine Lösungsvielfalt gibt: 
    Seien m ("Minuend") und s ("Subtrahend") zwei solche Zahlen, welche die Bedingungen erfüllen (m > s).
    (m + s ) + ( m - s ) + ms + m : s = 196 ergibt
    2m + ms + m:s = 196  nach Multiplikation mit s:
    2ms + ms2 + m = 196s 
    Folglich gilt m = 196s : (s+1)2.  
    Nun sind s und (s+1) als aufeinander folgende Zahlen teilerfremd. 
    Folglich muss (s+1)2 Teiler von 196 = 22·72 sein. 
    Daraus ergibt sich: s+1 = 2 Ú s+1 = 7 Ú s+1 =  2 · 7  
    Û  (s = 1Ùm = 49)Ú(s=6Ù m=24)Ú(s=13Ùm=13) 
    Einziges Lösungspaar ist (24/6) unter Beachtung aller Rahmenbedingungen.

Aufgabe 3:

Zunächst einige Erläuterungen / Vereinbarungen zum Mitzeichnen: Betrachten wir einen Tetraeder (Kantenlänge a) mit Grunddreieck ABC und Spitze S, Ma, Mb, Mc bezeichnen die üblichen Seitenmitten (Höhen, Seitenhalbierende und Mittelsenkrechte fallen im gleichseitigen Grunddreieck zusammen.) von ABC, Das Lot von S mit der Länge h trifft die Grundfläche in ihrem Flächenschwerpunkt Sg, die Mittelpunkte der Kanten von S aus nach A, B, C haben die Bezeichnungen MA,MB, MC, hs sei der Abstand des Punktes S von den Grundkanten.
Folgerungen: (1) Der Mittelpunkt M der einbeschriebenen Kugel mit Radius r liegt aus Symmetriegründen auf der räumlichen Höhe, die auch Schwerelinie ist. MÎSSg  und beispielsweise in der Ebene durch die Punkte BSMb liegt; diese Ebene kann als ebener Schnitt durch den Tetraeder gesehen werden, der in zwei spiegelsymmetrische Hälften zerlegt. Das Dreieck BSMb  hat die Seitenlängen a (BS), (MbB und MbS); es ist gleichschenklig. Das Lot von Mb auf BS halbiert die Strecke, trifft diese in T (willkürliche Bezeichnung) und geht durch M. Die beiden rechtwinkligen Teildreiecke MbSgS und SgBS liefern mithilfe des Satzes von Pythagoras  die Länge x von MbSg, eine andere Möglichkeit liefert der Satz "Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1." 
(Katheten in ähnlichen Dreiecken MbSgM und MbBT)
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