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Mathe-Treff: Knobel-Aufgaben für die Stufen 11 bis 13
März - April 2004

  1.  
    1. Ermittle, welches Relationszeichen (< , > , =) zwischen die Zahlen gehört: 234468 und 468234.
    2. Welche Endziffer haben die beiden Zahlen in dezimaler Schreibweise?
    3. Finde Lösungen zu wxy · z = zyx · w, wenn w, x, y, z für Ziffern der Zahlen in dezimaler Schreibweise stehen.
  2. In einer Formelsammlung kann man nachlesen, dass für den Flächeninhalt A eines Dreiecks gilt:  A = r · s, wobei r die Größe des Inkreisradius und s die des halben Dreiecksumfangs bedeutet. Welche Überlegungen führen auf diese Formel?

  3. Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern hatte für den Einsatz als Teststrecke im Sportunterricht ihrer angrenzenden Schule die vier geradlinigen Wegstrecken ausgemessen, die unmittelbar an der alten kreisrunden  (100m im Durchmesser) Burganlage ihres Ortes vorbei und um diese herum führen. Auf Dezimetergenauigkeit ermittelten sie für die nördliche Strecke 49,6m, 142,4m für die westliche und 115,5m für die östliche. Bedauerlicherweise gingen die Unterlagen mit den Messergebnissen für die südliche Strecke, die die längste unter diesen vier Strecken ist, verloren. – Allerdings war Mathe-Marie, die immer Spitze in diesem Fach war, etwas aufgefallen, das sie beschäftigt hatte; und deshalb konnte sie sich an das Ergebnis erinnern, sagte es aber versteckt: “Ihr könnt die Länge s für die Südstrecke aus den anderen Angaben berechnen; denn wenn ihr w für die westliche, n für die nördliche und ö für die östliche Streckenlänge verwendet, dann gilt 

    n2 – w2 + s · n – ö · w = ö2 – s2 + ö · w – s · n.“ 

    Ermittle außer der Streckenlänge einen einfachen Zusammenhang aus diesen Angaben und beweise ihn (z.B. geometrisch).