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Mathetreff: Knobelaufgaben für die Oberstufe
September-Oktober 2008
Einsendeschluss 31.Oktober 2008

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Aufgabe 1

Funktionen

Von einer Funktion f, die für alle von 0 verschiedenen reellen Zahlen erklärt ist, sei vorausgesetzt, dass folgendes gilt:

(1) Es ist f(1) = 1.

(2) Für jedes x ungleich 0 ist f von 1 durch x gleich 1 durch x hoch 2 mal f von x

(3) Für alle x1 und x2 mit x1 und x2 jeweils ungleich 0 und x1 plus x2 ungleich 0 ist f von Klammer auf x1 plus x2 Klammer zu gleich f von x1 plus f von x2.

Paul behauptet nun, dass ohne die Funktionsgleichung(en) zu kennen, für jede Funktion, die die obigen Bedingungen erfüllen immer gilt: f von 5 Siebtel gleich 5 Siebtel..

Aufgabe 2

Gleichungen

Emanuel muss wieder einmal eine schreckliche Gleichung lösen. Da er nur einen Teil im Unterricht mitgeschrieben hat, steht bei ihm im Heft die folgende Gleichung:

ax–6 = bx–4

Beim Lösen dieser Gleichung mit gegebenen natürlichen Zahlen a und b stellt Emanuel fest:

(1) Die Gleichung hat eine natürliche Zahl x als Lösung.

(2) Die gleiche Zahl ergibt sich, wenn man – zur Durchführung der Probe – jeweils auf einer Seite dieser Gleichung die gefundene Lösung x einsetzt.

Ermitteln Sie für alle Paare (a|b) natürlicher Zahlen, für die diese Feststellungen zutreffen.

 

 

Aufgabe 3

Die gute alte Zeit

Skizze eines Dreiecks, das eine Zeichnung von Opa Gustav enthält

Klaus soll ein Dreieck ABC konstruieren. Leider weiß er nicht viel über das Dreieck, nur so viel:

(1) Der Radius des Umkreises von ABC hat die Länge von r Index u gleich 4 Zentimeter.
(2) Die Längen der Seiten des Dreiecks verhalten sich wie 2:3:4.

Klaus weiß sich überhaupt keinen Rat! Er wendet sich an seinen Opa Gustav, der noch in der guten alten Zeit Mathematikunterricht genossen hatte. Opa Gustav sagte:“ Ist doch ganz easy!“ So schnell konnte Klaus gar nicht schauen, wie Opa Gustav das Dreieck konstruiert hatte.

Sind Sie auch so schlau wie Opa Gustav?