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Mathetreff: Knobelaufgaben für die Klassen 9 und 10
Januar-Februar 2009
Einsendeschluss 28.Februar 2009

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Aufgabe 1

Zauberer im magischen Polygon

Endlich ist Karneval. Die n Mitglieder der Mathe-AG, deren Anzahl ungerade und mindestens 5 ist, verkleiden sich mit blauen oder schwarzen Umhängen und einem schwarzen Hut als Zauberer.
Um eine besondere magische Atmosphäre zu erzielen, stellen sie sich in die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks und bilden so ein magisches Polygon.
„Hey“, bemerkt Julia, „gleichgültig, wie wir uns aufstellen, es gibt immer drei von uns mit gleicher Umhangfarbe, die in den Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks stehen.“

Ben glaubt nicht an den Hokuspokus. Kannst du ihn überzeugen?

Auf dem Bild ist eine als Zauberer verkleidete Babypuppe zu sehen.

Aufgabe 2

Willkommen im Jahr 2009

Zeige, dass für alle a,b,c, die Element der Menge der reellen Zahlen sind gilt:

2009 a hoch 2 plus 2009 b hoch2 plus 2009 c hoch2 größer gleich 2009 a mal b plus 2009 b mal c plus 2009 a mal c

Die Abbildung zeigt eine rote 2009.

Aufgabe 3

Winterlandschaft

Das Bild zeigt eine von einem Kind gemalte Winterlandschaft.

Genau in der Mitte zwischen den beiden Dörfern Schneefelde und Hagelsdörfchen befindet sich ein zugefrorener See.
Irgendwo in dieser Winterlandschaft steht Peter mit seinen neuen Schlittschuhen unter dem Arm.

Zeige, dass unabhängig von seinem Standort gilt: Der Weg zum zugefrorenem See und wieder zum Standort zurück ist immer mindestens genauso groß wieder Weg vom Standort zum Dorf Schneefelde vermindert um den Weg vom Standort zum Dorf Hagelsdörfchen.