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Mathe-Treff: Knobelaufgaben für die Klassen 9 und 10
Januar-Februar 2010
Einsendeschluss 28. Februar 2010

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Aufgabe 1

Das Leiterproblem

Der Plan vom Chefschneemann ist nocheinmal in einer Skizze dargestellt. 
	Die Türme stehen senkrecht zum Boden.   Turm A ist 60m hoch, Turm B 45m. Sie stehen 120m voneinander entfernt.

Die Türme A und B beschützen den Eingang zur Weihnachtswerkstadt.
Auf dem Turm A sitzt der Schneemann Alexander und auf dem Turm B sitzt der Schneemann Berti.
Allerdings gibt es keine Treppen, um auf die Türme zu gelangen. Deshalb hatte jeder Turm seine eigene Leiter.
Nach dem letzten Schneesturm waren beide Leitern so zerstört worden, dass sich eine Reparatur nicht mehr lohnte. Der Chefschneemann Niclaus machte sich eine maßstäbliche Skizze von den Eingangstürmen. Auch im hohen Norden ist die Wirtschaftskrise bemerkbar. Deshalb kann nur noch eine Leiter beliebiger Größe gekauft werden.
Chefschneemann Niclaus hat folgenden Plan: Man muss einen Punkt X zwischen den beiden Türmen finden der gleichweit von den Spitzen der Türme A und B entfernt ist und ein Scharnier im Boden befestigen, damit die Leiter auch bei extremer Schräglage dort befestigt und benutzt werden kann.
Damit benötigt man seiner Meinung nach nur noch eine einzige Leiter. Das Problem ist nur, er weiß nicht wie man den Punkt X findet und wie lang er die Leiter bauen lassen muss.

Finde durch eine geeignete maßstäbliche Konstruktion den Punkt X auf dem Boden, der der Forderung genügt, dass die Länge der Strecke von der Spitze des Turms A zu X gleich der Länge der Strecke von der Spitze des Turms B zu X ist, und bestimme auch die Länge der Leiter in Metern.
Überprüfe anschließend durch eine Rechnung die Ergebnisse.

Alexander und Berti sitzen auf ihren Türmen.

Aufgabe 2

Vater und Sohn

Der Vater von Johann ist viermal so alt wie er selbst. Addiert man die Zahlen, die das Lebensalter der beiden Personen ( in ganzen Zahlen) angeben, so erhält man als Summe eine Zahl die größer als 50 und kleiner als 100 ist. Weiterhin ist das Produkt der Zahlen, die das Lebensalter angeben, kleiner als 700.

Wie alt kann Johann sein?

Aufgabe 3

Die Stadt und das Schwimmbad

Aufgrund der Wirtschaftskrise denken viele Kommunen im Regierungsbezirk Düsseldorf über eine Erhöhung der Einnahmen nach. Dazu wird hier ein mögliches Szenario am Beispiel der Eintrittspreise von Schwimmbädern vorgestellt. Die Kämmerer der Kommunen haben in der Vergangenheit durch Befragungen der Schwimmbadgäste Erfahrungswerte, welche Preiserhöhung oder Preissenkung welche Auswirkung auf die Anzahl der Besucher haben.
Geht man von 500 Besuchern täglich und einem Eintrittspreis von 5 EUR aus (Ermäßigungen bleiben der Einfachheit halber unberücksichtigt), so hat eine Erhöhung um 0,5 EUR des Eintrittspreises zur Folge, dass nur noch 450 zahlende Gäste das Schwimmbad besuchen. Jede Erhöhung um 0,5 EUR bewirkt, dass die Anzahl der zahlenden Besucher um 50 abnimmt.

Bei welchem Eintrittspreis sind die Einnahmen aus den Eintrittsgeldern am größten?