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Mathe-Treff: Knobelaufgaben für die Klassen 9 und 10 (Sekundarstufe I)
Juni-August 2012
Einsendeschluss 31. August 2012

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Aufgabe 1

Eis-Zeit

Im Sommer 2012 hat eine Eisdiele aufgrund der starken Konkurrenz einen Werbegag für die gesamte Saison geplant. Auf dem Angebotsschild steht: "Unser erste Kunde in dieser Saison erhält für 2,00 EUR ein Eis mit vier Kugeln, der zweite Kunde erhält für denselben Preis sogar sechs Kugeln. Und für jeden weiteren Kunden gilt: Die Anzahl der Eiskugeln des letzten Kunden vor Ihnen wird durch die Anzahl der Eiskugeln des vorletzten Kunden geteilt. Das Ergebnis gibt an, wie viele Kugeln Eis Sie für 2,00 EUR erhalten werden."

a) Wie viele Kugeln Eis erhält der 2012-te Kunde?

b) Wie viele Kugeln Eis würde der zehn hoch zweitausenzwölfte Kunde erhalten?

 Zu sehen ist ein Eis im Hörnchen.

Aufgabe 2

Paradox?

Ari und Bela haben jeweils fünf kongruente Papierschnipsel in Form eines Rechtecks auf dem Tisch zusammengelegt.
Bei Ari sieht das Rechteck KLMN vollständig aus, bei Belas Rechteck PQRS klafft eine quadratische Lücke.
Beide sind verblüfft und ratlos.

Ari: "Ich habe das große Dreieck "E" oberhalb der Diagonale KM wie du oberhalb von PR platziert. Das macht schon die Hälfte der Rechteckflächen aus."
Bela: "Ja, und die Diagonalen werden von den Hypotenusen der Dreiecke "A" und "B" bedeckt. Der Unterschied ist nur, dass ich das große rechtwinklige Dreieck "A" mit den Kathetenlängen 8 bzw. 3 rechts hingelegt habe, wo du das kleinere rechtwinklige Dreieck "B" mit den Kathetenlängen 5 bzw. 2 hingelegt hast."
Ari: "Bei beiden Figuren bleiben unten rechts Rechecke übrig. Mein 3x5-Rechteck wird von den Teilfiguren "C" und "D" vollständig bedeckt, nur bei deinem 2x8-Rechteck bleibt ein kleines 1x1-Quadrat übrig."
Bela: "Dann lass uns die Teilfiguren "C" und "D" vergleichen! "C" hat fünf Einheitsquadrate in der oberen Reihe und links darunter noch drei weitere Einheitsquadrate bei dir wie bei mir. Die Fläche "D" hat fünf Einheitsquadrate in einer Reihe und rechts darüber weitere zwei. Unsere Teilflächen "C" und "D" sind kongruent."
Ari: "Dann verstehe ich nicht, dass bei deinem Rechteck ein Loch ist."

Wieso kann bei unterschiedlichem Zusammensetzen der Teilflächen ein Quadrat verschwinden? -Löse das Problem von Ari und Bela.

Die Darstellung zeigt die Rechtecke KLMN und PQRS, 
	deren Aufteilung dem Gespräch zwischen Ari und Bela entnommen werden kann.

Aufgabe 3

Spielstrategen

a) Nach einem langen Tag am Strand breiten Alex und Britta ihre gesammelten Muschen aus. Britta legt die schönsten zwölf Muscheln auf den Tisch…

Das Bild zeigt zwölf Muscheln.

und schlägt Alex folgendes Spiel vor: "Wir nehmen abwechselnd 1, 2 oder 3 Muscheln weg. Wer die letzte Muschel an sich nimmt, hat gewonnen. Du fängst an." Nach ein paar Runden gewinnt nur noch Britta. Alex ist zunächst etwas verärgert, durchschaut jedoch irgendwann Brittas Strategie.

Wie schafft Britta es, jede Spielrunde zu gewinnen?

b) Alex schlägt nun eine andere Spielvariante vor: "Wir legen unsere 12 Muscheln in drei Gruppen zueinander. Jetzt müssen wir abwechselnd mindestens eine Muschel wegnehmen, aber immer nur von einer Gruppe. Wir dürfen auch alle Muschen einer Gruppe wegnehmen. Es gilt wieder: Wer die letzte Muschel wegnimmt, hat gewonnen. Ich fange an."

Das Bild zeigt drei Gruppen von Muscheln, die erste Gruppe besteht aus drei, die zweite aus vier und die 
  dritte aus fünf Muscheln.

Nach einer gewissen Zeit gewinnt nur noch Alex.

Erkläre, warum es auch bei dieser Spielvariante stets denselben Gewinner geben kann, wenn dieser eine bestimmte Strategie verfolgt.