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Mathe-Treff: Knobelaufgaben für die Oberstufe
Juni-August 2012
Einsendeschluss 31. August 2012

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Aufgabe 1

Schnittwinkel

In den dargestellten Quadraten schneiden sich die Diagonalen AE und BI im Punkte S.

Ermitteln Sie den Winkel (ESI), unter dem sich die Diagonalen schneiden.

 Zu sehen sind die Quadrate ABGH, BCFG, CDEF, die das Rechteck ADEH bilden, sowie das vierte Quadrat FIJG, welches auf das mittlere draufgesetzt ist. Die Diagonalen schneiden sich im Punkte S.

Aufgabe 2

Näherung der Kreiszahl

Mit dem dargestellten Einheitskreis (mit Längeneinheit LE = 1km, falls nichts anderes angegeben ist) sind folgende Punkte festgelegt:

O(0/0), P(1/0), Q(0/1), R(875m/0), S(0/500m),

T(x(t)/y(t)) ist Schnittpunkt von QR mit dem Kreise um Q durch S im Innern des Kreises um O durch P;

U wird festgelegt durch (x(u)/y(u)) = (0/y(t));

zu V: TV verläuft parallel zu RU, wobei VT MQ in V schneidet.

a) Ermitteln Sie die Länge der von Q und V begrenzten Strecke.

b) Vergleichen Sie die Maßzahl der Länge von a) mit Pi-3!

Die Erläuterungen der Darstellung sind für alle Knobler im Aufgabentext bekannt gegeben.

Aufgabe 3

Numerobix der Ältere?

 3 hoch 2 plus 4 hoch 2 gleich 5 hoch 2 (3+4+5+1 Knoten sind erforderlich für ein Modell eines rechtwinkligen Knotendreiecks, wenn erster und letzter Knoten dieselbe Position einnehmen.);  5 hoch 2 plus zwölf hoch 2 gleich dreizehn hoch 2 (5+12+13+1 erforderliche Knoten);  7 hoch 2 plus vierundzwanzig hoch 2 gleich fünfundzwanzig hoch 2 (57 Knoten ...)

Die Nutzung von Knotenschnüren (das sind Bänder mit Knoten in regelmäßigen Abständen zur Vermessung, insbesondere auch zur Ermittlung rechter Winkel in der Landwirtschaft des historischen Ägypten) ist ein Hinweis darauf, dass schon vor der Lebenszeit des Pythagoras von Samos (etwa 570 - 480 v.Chr.) der nach ihm benannte Satz für diesen Zweck Verwendung fand. Nebenstehende Beispiele sind allerdings eine spezielle Auswahl von Zahlenquadraten.

a) Erweitern Sie diese Beispiele zu einer Serie, die eine Gesetzmäßigkeit vermuten lässt.

b) Beweisen Sie diese Vermutung. (Anmerkung: Es soll nicht der Satz des Pythagoras bewiesen werden!)

3 hoch2 plus 4 hoch 2 gleich 5 hoch 2, 5 hoch 2 plus zwölf hoch 2 gleich dreizehn hoch 2, 7 hoch 2 plus vierundzwanzig hoch 2 gleich fünfundzwanzig hoch 2