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Mathe-Treff: Knobelaufgaben für die Oberstufe
März-April 2013
Einsendeschluss 30.April 2013

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Aufgabe 1

Kreative Gartengestaltung

Rechteck, mit Diagonale von li o nach re u. Mittelsenkrechte längerer Rechteckseite. 
	In li u und re o Ecke je 1 Kreis. Kreise berühren jew. kürzere u. längere Rechteckseite, Diag. u Mittelsenkr. in genau 1 Punkt.

Die Frühlingssonne treibt den Gärtner Daumengrün endlich wieder hinaus in seinen Kreativgarten. Den ganzen Winter hat er schon über ausgefallene und optisch attraktive Blumenbeete nachgedacht. Die Abbildung zeigt die bisherige Planung eines seiner Projekte. Er möchte gerne zwei kreisförmige Beete mit gleichem Radius anlegen, die von einer rechteckigen Buchsbaumhecke begrenzt werden (siehe Planungszeichnung). Die Größe der Beete soll variiert werden können, je nachdem wie viel Platz der Kunde zur Verfügung hat.

Anmerkung: Die Diagonale berührt die beiden Kreise an jeweils einem Punkt, ebenso die beiden Beetseiten sowie die Mittelsenkrechte der längeren Beetseite.

Wie lang müssen die Seiten des Rechtecks sein, die er mit Buchsbäumen bepflanzen möchte, wenn r der Radius der beiden Kreise ist?

Aufgabe 2

Nachtaktive Osterhasen

Das Bild zeigt eine Schale mit schön bemalten Ostereiern.

Ostersamstag: Die Osterhasenfamilie hat alles für den morgigen Tag vorbereitet und die Aufgaben unter den Familienmitgliedern bereits aufgeteilt. Dieses Jahr dürfen alle fünf Osterhasenkinder ihre Eier selbst verstecken. Die Geschwister haben alle Eier, die sie zu fünft verstecken dürfen, in einer großen Kuhle gesammelt. Voller Vorfreude auf den morgigen Tag schlafen sie ein. Mitten in der Nacht erwacht ein Osterhasenkind und möchte seinen Anteil an Eiern schon vorsorglich in Sicherheit bringen. Hierzu unterteilt es alle Eier in der Kuhle in fünf gleich große Haufen, nimmt sich seinen Anteil und versteckt ihn. Ein Ei, das bei der Unterteilung übrig bleibt, legt es in die Kuhle seiner Eltern. Kurze Zeit später erwacht ein anderes Osterhasenkind und geht genauso vor. Wieder unterteilt es alle Eier, die es in der Kuhle findet, in fünf gleich große Haufen, versteckt seinen Anteil und legt ein Ei, das auch bei ihm übrig bleibt, in die Ostereierkuhle der Eltern. So ähnlich wie Geschwister sich manchmal sind, verfahren die übrigen drei Osterhasenkinder genauso. Am nächsten Morgen lässt sich kein Osterhasenkind etwas anmerken, auch wenn die Kuhle sehr viel leerer geworden ist. Sie teilen alle noch vorhandenen Eier unter sich auf, und das Ei, das auch dieses Mal übrig bleibt, erhalten die Eltern.

Wie viele Eier hatten die Osterhasenkinder vor ihrer nächtlichen Aktivität mindestens in ihrer Kuhle?

Aufgabe 3

"Mathemagie" für Fortgeschrittene…

Das Bild zeigt einen Zylinder, aus dem Zahlen und Rechenzeichen herausfliegen.

Denken Sie sich eine zweistellige, natürliche Zahl. Berechnen Sie, welcher Rest "r" sich ergibt, wenn Sie Ihre Zahl durch 9 teilen. Bestimmen Sie auch den Rest "R", der sich durch Division durch 11 ergibt.

Berechnen Sie nun die Summe S gleich 55 mal klein r plus 45 mal groß R . Mit Hilfe dieser Summe lässt sich die die ursprünglich gedachte Zahl eindeutig bestimmen.

a) Finden Sie heraus, wie man die ursprünglich gedachte Zahl bestimmen kann.

b) Finden Sie eine mathematische Erklärung, warum diese eindeutige Bestimmung so funktioniert.