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Mathe-Treff: Knobelaufgaben für die Oberstufe
April-Juni 2017
Einsendeschluss 30. Juni 2017

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Aufgabe 1

Kreise, Kreise, Kreise

Gegeben ist folgende Figur. Sie besteht aus vier Kreisen, wobei die drei roten Kreise vollständig im großen (blauen) Kreis liegen. Die Mittelpunkte der vier Kreise liegen auf einer Geraden, welche übersichtshalber nicht eingezeichnet ist. Die Strecken A B und C D stehen senkrecht zu der oben genannten Geraden und sind gleichzeitig Tangenten zu den entsprechenden Kreisen im großen Kreis.
Die Punkte A, B, C und D liegen auf der Peripherie (Kreislinie) des großen Kreises und liegen achsensymmetrisch zueinander.
Für die Längen gilt: |AB| = |CD| = 6 cm.
Weiterhin ist der Durchmesser der beiden kongruenten, in der Skizze gleich groß gezeichneten kleineren Kreise 2 cm.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Restfläche – in der Skizze blau gezeichnet – des großen Kreises, welcher nicht von den drei roten Kreisen bedeckt wird.

Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstäblich gezeichnet.

In Kreis konzentrischer Kreis sowie zwei kleine Kreise deren Tangente zugleich an parallel verlaufende Tangenten an inneren Kreis sind. Radius der kleinen Kreise so, dass sie im großen liegen.

 

Aufgabe 2

Ostereier

Ostern steht vor der Tür. Damit Theresa ganz viele Ostereier für den Ostereierbaum im Garten bemalen kann, hat sie eine Farbflasche bekommen auf der steht: 500 ml reichen für 3 m².
Theresa ist total unglücklich, weil sie denkt, die Farbe reicht nur zum Bemalen von drei Eiern. Aber ihre Mutter beruhigt sie.
Nach dem ersten bemalten Ei stellt Theresa mit Freude fest, dass sie viele Hühnereier bemalen kann.

Wie viele Hühnereier sind dies etwa?

Kind bemalt Eier

 

Aufgabe 3

Bienenanzahl

Im Frühling ist nicht nur Ostern, sondern es beginnt auch das Wachsen der Bienen im Bienenstock. Jeder Stock sollte Anfang April mindestens 5000 Bienen haben (ohne Drohnen und ohne Königin). Man kann natürlich alle Bienen zählen, aber für eine erste Abschätzung möchte man nicht den Bienenstock öffnen. Deshalb markiert man von den am Ein- bzw. am Ausgang befindlichen Bienen 100 Stück mit Mehl innerhalb einer bestimmten Zeitspanne (z. B. 100 Sekunden). Das Mehl verfängt sich im Pelz der Bienen und bleibt an ihm kleben.
Dieses Markierungsverfahren ist für die Bienen vollkommen ungefährlich. Da im Stock noch keine Brut herrscht, sind alle Bienen gleichermaßen "flugbefähigt und flugberechtigt".
Am nächsten Tag zur gleichen Uhrzeit und unter gleichen Wetterbedingungen zählt man innerhalb von 100 Sekunden 3 Bienen, welche markiert sind.
Voraussetzungen: Die Markierung hält einige Tage, wird auch von den Bienen nicht "weggeputzt".

Geben Sie unter den Voraussetzungen eine begründete Prognose über die Anzahl der Bienen im Bienenstock, falls möglich.

Ein – und ausfliegende Bienen