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Mai/Juni 1997

  1. Bestimme die Winkel zwischen den gestrichelteten Diagonalen auf den Seitenflächen des Würfels. Begründe deine Antwort.
  2. Dem gleichschenkligen Trapez ABCD ist ein Viereck EFGH einbeschrieben, wobei die Punkte E, F, G und H die Mittelpunkte der Trapezseiten sind. Zeige, dass das Viereck EFGH eine Raute ist.
  3. Ein Scheich hinterlässt seinen drei Söhnen 17 Kamele. Dem Erstgeborenen vermacht er die Hälfte der Tiere, dem zweiten Sohn den dritten Teil und dem Jüngsten den neunten Teil der Kamele. Er verpflichtet seine Söhne, die Tiere nicht zu verletzen.
    Was machen die Drei?

Juli/August 1997

  1. In dem folgenden Rechenschema muß jeder Buchstabe durch eine Ziffer ersetzt werden. Verschiedene Buchstaben sind auch verschiedene Ziffern.
    AB  +  CDB  =  ECF
    -       -       -
    EG  +  HB   =  CFH
    __________________
    DE  +  AF   =  CFE
  2. Ein Würfel wird durch einen ebenen Schnitt in zwei Teilkörper zerlegt. Dies ist auf verschiedene Arten möglich. Die Abbildung zeigt eine Zerlegung in zwei Teilkörper, bei der die Eckenzahl der Teilkörper um 6 größer ist als die Eckenzahl des Würfels.
    Um wieviel ist die Eckenzahl der Teilkörper mindestens, um wieviel höchsten höher als die Eckenzal des Würfels? Sind alle Zwischenwerte zwischen dem Mindest- und dem Höchstwert möglich?




  3. 3 rote und 3 grüne Bonbons sind auf 3 Schachteln verteilt, wobei jede Schachtel 2 Bonbons enthält. Die Schachteln sind mit den Aufschriften ‘GG’, ‘GR’ und ‘RR’ gekennzeichnet. Die Aufschrift stimmt jedoch in keinem Fall mit dem Inhalt der Schachtel überein.
    Mit geschlossenen Augen darf einer Schachtel ein Bonbon entnommen werden, dessen Farbe erst nach dem Schließen der Schachtel festgestellt werden darf. Aus welcher Schachtel mußt du ein Bonbon entnehmen, um danach den Inhalt aller übrigen Schachteln genau angeben zu können?

September/Oktober 1997

  1. Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist stets durch 3 teilbar.
    (Bsp. 10+11+12 = 33; 33 / 3 = 11).
    1. Beweise diese Aussage.
    2. Ist die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch 4 teilbar?
    3. Verfahre entsprechend mit der Summe von fünf bzw. sechs aufeinanderfolgenden Zahlen.
  2. Zwei Fährboote legen zum gleichen Zeitpunkt von entgegengesetzten Ufern des Hudson River ab. Das eine fährt von New York nach Jersey City und das andere in entgegengesetzte Richtung.
    Das New Yorker Boot fährt schneller als das andere, so dass sie sich an einer Stelle treffen, die 720 Yards vom nächstgelegenen Ufer entfernt ist. Nachdem sie ihre jeweiligen Bestimmungsorte erreicht haben, legen beide Boote 10 Minuten an, um neue Passagiere aufzunehmen; danach machen sie sich auf die Rückfahrt. Die Boote begegnen sich nun 400 Yards vom anderen Ufer entfernt.

    Wie breit ist der Fluß?

  3. Ein Würfel der Kantenlänge 4 cm ist zusammengesetzt aus kleinen Würfeln der Kantenlänge 1 cm.
    1. Aus wieviel cm³ besteht der große Würfel?
    2. Wieviel Würfel der Kantenlänge 1 cm sind von außen nicht sichtbar?
    3. Wieviel Würfel der Kantenlänge 1 cm sind von außen sichtbar?
    4. Von wie vielen kleinen Würfeln ist nur eine Seitenfläche sichtbar?
    5. Von wie vielen kleinen Würfeln sind 2 Seitenflächen sichtbar?
    6. Von wie vielen kleinen Würfeln sind 3 Seitenflächen sichtbar?

    Beantworte die Fragen für große Würfel der Kantenlängen:
    2 cm , 3 cm , 5 cm und n cm ( n ist eine beliebige natürliche Zahl )

November/Oktober 1997

  1. Klaus erzählt von seiner Familie. "Ich bin älter als 10 Jahre, aber noch nicht 20 Jahre alt. Meine Mutter ist ein Jahr älter als mein Vater und 12 mal so alt wie meine Schwester. Mein Vater ist 21 Jahre älter als ich."
    Wie alt sind die einzelnen Familienmitglieder?

  2. Anna, Barbara, Cecilie, Doris und Erika machen auf dem Sportplatz ein Wettrennen. Es stehen 5 Bahnen nebeneinander zur Verfügung.
    1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 5 Mädchen auf die Laufbahnen zu verteilen?
    2. Barbara und Erika sind Freundinnen und wollen unbedingt nebeneinander laufen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn der Wunsch von den beiden berücksichtigt wird?

     

  3. Bei der vierstelligen Geheimnummer der Scheckkarte von Herrn Müller stimmen die erste und die vierte Ziffer überein. Ebenfalls sind die beiden mittleren Ziffern gleich. Die Zahl, die aus den beiden letzten Ziffern gebildet wird, ist um 2 größer als die Quersumme der Geheimzahl.
    Begründe, daß es nur eine Geheimnummer mit diesen Eigenschaften gibt und bestimme sie.

Januar/Februar 1998

  1. Aus dem Papyrus Akhmin am Nil ( ca. 500 bis 800 n. Chr. )
    Hier befindet sich folgende Formel zur Bruchrechnung:
    mit
    Zeige die Richtigkeit!
  2. Der griechische Mathematiker und Philosoph Pythagoras soll auf die Frage, wie viele Schüler er habe , geantwortet haben:
    " Die Hälfte studiert Mathematik, ein Viertel Physik, ein Siebtel lernt das Schweigen und der Rest sind sechs kleine Jungen."
    Wie viele Schüler hatte er?
  3. In welchem n-Eck ist die Zahl der Diagonalen halb so groß wie die Zahl der Seiten?
    In welchem doppelt so groß?

März bis 14. Mai 1998

  1. Aus den 30 Schülerinnen und Schülern einer Klasse sollen 5 ausgewählt werden, die den nächsten Ausflug vorbereiten sollen. Wie viele Möglichkeiten für die Zusammensetzung der Vorbereitungsgruppe gibt es?

  2. Ein Warenhaus erhält eine Lieferung von roten, blauen und grünen Bällen, zusammen 675 Stück. Während eines Monats wurden davon verkauft:
    • die Hälfte der roten Bälle
    • zwei Drittel der blauen Bälle,
    • drei Viertel der grünen Bälle.

    Es stellte sich heraus, daß danach von jeder der drei Farben noch gleich viele Bälle übriggeblieben waren.

    1. Wie viele Bälle hat das Warenhaus von jeder Farbe verkauft?
    2. Wie viele Bälle sind insgesamt übriggeblieben?


  3. In der folgenden Figur sollen die Flächen A, B und C gleich groß sein, D soll ein Quadrat sein. Welche Seitenlänge hat D?
    k78-3.jpg (4741 Byte)

15. Mai bis August 1998

  1. Rätselhafte Familie
    Ein Ehepaar hatte weniger als 10 Kinder. Es sind Jungen und Mädchen. Jedes Mädchen hat ebenso viele Schwestern wie Brüder. Jeder der Jungen hat jedoch nur halb so viele Brüder wie Schwestern.
    Wie viele sind es genau?
  2. Ein Automobilhändler möchte sein Modell Auturo in 5 Motorversionen, 4 verschiedenen Lackierungen und 4 verschiedenen Innenausstattungen anbieten. Wie viele Autos müsste der Händler auf Lager haben, um jeden Wunsch seiner Kunden sofort erfüllen zu können?
  3. Ermittle alle diejenigen vierstelligen natürlichen Zahlen z, die folgende Bedingungen (1) und (2) erfüllen:
    1. Die Zahl z ist durch 24 teilbar.
    2. Die zweite Ziffer der Zahl z ist eine 1, die dritte Ziffer von z ist eine 3 .

September/Oktober 1998

  1. Dirk und Julia haben 6 Kärtchen mit Ziffern beschriftet: Wie viele verschiedene Zahlen können sie daraus legen, wenn sie immer alle Kärtchen verwenden wollen?


  2. In einem Teich steht ein Holzpfahl. Es ist bekannt, daß 1/8 der Länge des Pfahles im Boden steckt, 3/7 im Wasser sind und 2 Meter aus dem Wasser herausragen. Wie lang ist der Pfahl?

  3. Wie viele Erbsen passen in eine 1,5 Liter Cola-Flasche? Nenne die Zahl und beschreibe, wie Du sie gefunden hast.

November/Dezember 1998

  1. Fabian behauptet, daß das Produkt von vier natürlichen Zahlen gerade ist, wenn ihre Summe ungerade ist.
    Weise nach, daß Fabian`s Behauptung richtig ist.

  2. Maria ist 24 Jahre alt. Sie ist doppelt so alt wie Anna war, als Maria so alt war, wie Anna jetzt. Wie alt ist Anna?


  3. k78-5.jpg (9841 Byte)

    Zeige, dass für die Teilflächen folgende Bedingungen gelten:
    a + b = c + d und e + g = f

Januar/Februar 1999

  1. Ermittle alle Zahlen, die die folgenden Eigenschaften besitzen:
    (1) Die Zahl ist dreistellig und enthält drei verschiedene Ziffern, die alle Primzahlen sind
    (2) Die Zahl ist durch jede der von ihren Ziffern bezeichneten Zahlen teilbar.
  2. Rita experimentiert mit einer Balkenwaage. Sie hat 17 Kugeln, 6 Würfel und 1 Pyramide. Sie stellt fest:
    (1) Alle Kugeln haben das gleiche Gewicht
    (2) Alle Würfel haben das gleiche Gewicht
    (3) Die Pyramide und 5 Würfel wiegen zusammen so viel wie 14 Kugeln.
    (4) Ein Würfel und 8 Kugeln wiegen zusammen so viel wie die Pyramide.
    Wie viele Kugeln wiegen so viel wie die Pyramide?

  3. Begründe, daß die folgende Behauptung richtig ist.
    Die Summe zweier gerader Zahlen ist stets eine gerade Zahl.

März/Mai 1999

  1. Der Zauberer Zahlufixus spricht: " Denke dir eine Zahl, vermindere sie um 4, verdopple das Ergebnis und addiere nun die ursprünglich gedachte Zahl. Sage mir dein Ergebnis."
    Wenn du Zahlufixus dein Ergebnis genannt hast, so antwortet er: "Deine gedachte Zahl war ..."
    Wie kommt Zahlufixus zu seiner Antwort?

  2. Inflation
    Herr McMiller aus Schottland war entzückt, denn mit Beginn des letzten Jahres hat er 15% mehr Gehalt bekommen.
    Am Ende des Jahres las er jedoch in der Zeitung, dass die Inflation im verstrichenen Jahr mit 9% zu Buche schlug.
    Um wieviel war sein Gehalt denn nun wirklich gestiegen?

  3. Beweise, dass der Umfang eines Dreiecks dadurch erhalten werden kann, dass man den doppelten Dreiecksflächeninhalt durch die Länge des dazugehörigen Inkreisradius r teilt.

Juni/August 1999

  1. Gesucht sind alle fünfstelligen Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
    • die 1. Ziffer ist kleiner als die 2. Ziffer, die 2. kleiner als die 3., die 3. kleiner als die 4. und die 4. kleiner als die 5.
    • die Zahl ist durch 12 teilbar,
    • die Ziffer 8 kommt in der Zahl nicht vor.

  2. Wie viele Rechtecke sind in der Figur enthalten? (Ein Rechteck ist schon eingezeichnet)

    k78a2.gif (1107 Byte)

  3. Bestimme die Größe des Winkels a.

    k78a3.gif (1395 Byte)

September/Oktober 1999

  1. Diophantos von Alexandria lebte wahrscheinlich im 3. Jahrhundert nach Chr.
    Er beschäftigte sich zeitlebens mit zahlentheoretischen Problemen. Passend ist der Legende nach das einzige Detail aus seinem Leben in seinen Grabstein gemeißelt worden:
    Knabe zu sein gewährte ihm Gott ein Sechstel seines Lebens; noch ein Zwölftel dazu, und Er kleidete seine Wangen in Flaum. Ein Siebtel noch, und Er entzündete ihm das Licht der Ehe; fünf Jahre nach der Heirat schenkte Er ihm einen Sohn. Doch ach!- das spätgeborene kränkliche Kind: die Hälfte der Lebensspanne des Vaters hatte es erreicht, da raffte das kalte Schicksal es hinweg.
    Vier Jahre lang fand er Trost in der Wissenschaft der Zahlen, dann beschloss er sein Leben auch.
    Natürlich geht es darum, das Alter des Diophantos zu berechnen.

  2. Gibt es eine zweistellige Zahl, die sich verdoppelt, wenn man ihre Ziffern vertauscht?

  3. Ein würfelförmiger Behälter wird zum Auffangen von Regenwasser gekippt aufgestellt. ( siehe Abbildung ).
    Sobald der Behälter überläuft, wird er horizontal hingestellt. Wie hoch steht dann das Wasser im Behälter?


November/Dezember 1999

  1. k11971.gif (2132 Byte)Herr Grünnadel verkauft vor Weihnachten Tannenbäume. Im letzten Jahr hatte er zwei Sorten im Angebot: Bäume mit einer Höhe von 1 m bis 2 m kosteten 17.00 DM; Bäume mit einer Höhe von 2 m bis 3 m kosteten 23.00 DM. Andere Bäume gab es nicht.
    Herr Grünnadel verkaufte doppelt so viele Bäume zu 17.00 DM als zu 23.00 DM. Wenn er alle verkauften Bäume hintereinander gelegt hätte, hätte sich eine Strecke von 137 m ergeben.
    Wie viele Bäume hat er insgesamt verkauft? Gib alle Möglichkeiten an.



  2. k11952.gif (4218 Byte) Jutta ist Karl-May-Fan. In ihrem Regal hat sie die Bücher "Winnetou I", "Winnetou II" und "Winnetou III" hintereinander stehen. Als ihre Freundin Anja zu Besuch kommt, bemerkt sie: "Daraus kann man ja die Zahl 123 lesen."
    Nun versuchen die beiden Freundinnen, durch Umstellen der Bücher alle möglichen Zahlen zu bekommen.
    1. Welche Zahlen sind dabei möglich?
      Im Bücherschrank der Eltern sehen sie kurz darauf ein Lexikon mit 8 Bänden. Jetzt wollen sie das gleiche damit machen.
    2. Welche ist die kleinste und welche die größte Zahl, die sie bilden können?
    3. Wie viele Zahlen können sie mit den Bänden des Lexikons bilden?

     

  3. Beim Schulfest verkauft die Klasse 7c Trinkpäckchen. Die Päckchen sollen ordentlich in Reihen aufgestellt werden.
    Es könnten immer 2 Päckchen nebeneinander gestellt werden. Auch bei 3 Päckchen oder 5 oder 6 Päckchen nebeneinander käme man genau hin. Würden allerdings 4 Päckchen in jeder Reihe nebeneinander gestellt, würden 2 übrigbleiben. Wenn 7 nebeneinander gestellt würden, wäre ein Päckchen zu wenig da.
    Wie viele Päckchen will die Klasse verkaufen? (Es sind übrigens weniger als 300 Päckchen da)

Januar/Februar 2000

  1. Bestimme zu den 10 Buchstaben die zugehörigen Ziffern.
    Ganz ohne Probieren geht es dabei nicht, aber etwas logisches Denken sollte dir wohl weiterhelfen.
  2. G A U S S
    + R I E S E
    E U K L I D

 

  1. Sn sei die Summe der ersten positiven ungeraden Zahlen:
    S3: 1 + 3 + 5 = 9
    k1197.gif (1221 Byte)
    1. Bestimme S4 !
    2. Welche Summe haben S5 bzw. S7 ?
    3. Kann man vielleicht eine Formel angeben, um beliebig viele ungerade Zahlen zu addieren?
  2. Acht Freunde treffen einander, jeder gibt jedem die Hand. Wie viele Händedrücke werden mindestens gewechselt?

März/Mai 2000

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  1. Eine Gruppe Osterhasen besucht den Hühnerhof. Der Hahn (gallus mathematicus) stellt fest:
    (1) Es gibt 5x so viele Hühner wie Hasen.
    (2) Es sind mehr als 60 Hühner da.
    (3) Hühner und Hasen zusammen sind weniger als 90.
    Wie viele Hühner und Hasen waren auf dem Hof? Prüfe, ob es mehrere Möglichkeiten gibt.
  1. Anna, Bernd, Claudia und Dirk haben Ostereier gesucht.
    (1) Claudia hat weniger Eier gefunden als Bernd.
    (2) Anna und Bernd zusammen haben weniger Eier gefunden als Claudia und Dirk zusammen.
    (3) Claudia und Bernd zusammen haben genau so viele Eier gefunden wie Anna und Dirk zusammen.
    Sortiere die Kinder nach der Anzahl der gefundenen Eier.
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  1. Ersetze in der Rechnung jeden Buchstaben durch eine Ziffer. Zwei Buchstaben sind durch die Ziffer 0 zu ersetzen, für alle anderen Buchstaben gilt: unterschiedliche Buchstaben werden durch unterschiedliche Ziffern ersetzt. Prüfe, ob es mehrere Möglichkeiten gibt:

Juni/August 2000

  1. Man kann die Zahl 1 mit Vieren auf mehrere verschiedene Arten darstellen.


    Stelle auch die Zahlen 2, 3, 4, 5, 6 und 9 nur mit Vieren dar
  2. Zwei Quadrate liegen übereinander, wobei die eine Ecke des oben liegenden Quadrates im Mittelpunkt des anderen Quadrates liegt. Wie groß ist die Fläche, die vom unten liegenden Quadrat verdeckt wird? Begründe deine Aussage!
    k1702.gif (5494 Byte)
  3. Marion trifft auf dem Heimweg Hans erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 %, Ludwig mit der Wahrscheinlichkeit von 50 %.
    Sie überlegt, dass sie wenigsten einen ihrer Freunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 120 % treffen wird. Sie hat heute aber weder Hans noch Ludwig getroffen.
    Wo ist das Problem und mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft sie einen, keinen oder beide?

September/Oktober 2000

  1. Philip hat eine gewisse Anzahl von Kastanien gesammelt. Er erzählt: "Wenn ich eine Kastanie mehr gesammelt hätte, könnte ich mit meinen 3 Geschwistern teilen, und jeder bekäme die gleiche Zahl von Kastanien. Hätte ich jedoch zwei Kastanien mehr gesammelt, könnte ich mit meinen Geschwistern und mit meinen Eltern teilen, und jeder bekäme die gleiche Zahl."
    Kann Philip gut rechnen?

  2. Stephan, Thomas, Ute, Veronika und Werner sammeln Kastanien im Park. Nach einiger Zeit treffen sich Stephan, Thomas, Ute und Veronika. Sie zählen ihre Kastanien und stellen fest, dass sie durchschnittlich 65 Kastanien gesammelt haben. Schließlich kommt Werner hinzu. Als die Kinder jetzt wieder zählen, stellen sie fest, dass sie nun durchschnittlich 68 Kastanien haben.
    Wie viele Kastanien hat Werner gesammelt?

  3. traktor.gif (15417 Byte)Das Getreide auf einem großen Feld wird geerntet. 2 Mähdrescher sind im Einsatz. Nach 4 Stunden haben sie ein Drittel des Feldes bearbeitet. Da der Wetterbericht ein Gewitter ankündigt, wird zusätzlich noch ein alter Mähdrescher eingesetzt, der aber nur ¾ so schnell arbeitet wie die beiden anderen Maschinen. 5 Stunden später kommt das Gewitter.
    Ist das Feld abgeerntet?
    Falls nein, welcher Anteil des Feldes ist noch nicht abgeerntet?






November/Dezember 2000

  1. Ein Bündel von Einheitswürfeln mit der Kantenlänge 1 cm ist zusammengesetzt zu einem größeren Würfel. Einige der Oberflächen des großen Würfels sind vollständig angemalt.
    Nun wird der große Würfel weggenommen und 24 !!! der kleinen Würfelchen sind an keiner Stelle bemalt.
    1. Wie viele kleine Würfel waren in dem großen Würfel?
    2. Welche Teiloberflächen des großen Würfels waren bemalt?

  2.  
    1. Schreibe die Zahl 73 dreimal hintereinander. Du erhälst so eine sechsstellige Zahl.
      Zeige, dass diese Zahl durch 3, 7, 13 und 37 teilbar ist.
    2. Wähle eine beliebige zweistellige Zahl, bilde wie unter a) eine sechsstellige Zahl und zeige auch hier, dass o.g. Behauptung zutrifft.
    3. Begründe, dass jede Zahl der Form ababab durch 3, 7, 13 und 37 teilbar ist.

  3. Piggy liebt Popcorn. Da er in den letzten Monaten zu viel davon gegessen hat, rät ihm der Arzt am ersten des Monats ein Popcorn zu essen, am 2. zwei, am 3. drei Stück u.s.w.
    Im nächsten Monat soll der ganze Vorgang wiederholt werden.
    1. Wie viel Popcorn hat er im ersten Halbjahr dieses Jahres gegessen?
    2. Entwickle eine Formel zur Bestimmung der Summe des verzehrten Popcorns pro Monat.

Viel Spaß beim Lösen wünscht der Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf!
http://www.mathetreff.de

Die Lösungen finden sich im Knobel-Archiv.