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Mathe-Treff: Magazin - Neben der Spur

Im Mathematikunterricht werden viele interessante Dinge gemacht. Leider ist aber auch für Vieles keine oder zu wenig Zeit. In unserer neuen Reihe "Neben der Spur" wollen wir im Mathetreff in lockerer Reihenfolge Themen behandeln, die einerseits meistens zu kurz kommen, also neben der Spur liegen, die es aber andererseits dennoch wert wären, bedacht zu werden.
Damit fangen wir jetzt an. Viel Freude beim Mitdenken.


Machen Sie einmal folgenden kleinen Test. Fragen Sie Ihre Freunde, wie viele Primzahlen es gibt, und Sie werden als Antwort erhalten: Es gibt natürlich unendlich viel Primzahlen. Sie bitten dann um eine Begründung, und ich bin mir fast sicher, sie bleibt aus. Wir haben so etwas im Gefühl, doch dieses Gefühl ist leider wenig wert. Wäre die Anzahl der Primzahlen etwa endlich, so könnten es immerhin noch sehr, sehr viel sein. Und dem Unterschied zwischen sehr großen Anzahlen und Unendlichem ist unsere naive Anschauung wohl nicht gewachsen.
Der griechische Mathematiker Euklid, der um ca. 300 v. Chr. in Alexandria lebte, war vermutlich der erste, der einen Beweis fand oder zumindest veröffentlichte. Dieser Beweis ist so schön, dass auf ihn noch heute jeder Mathematiker stolz ist. Der englische Zahlentheoretiker Hardy z. B. schrieb ein Buch über sein Verhältnis zur Mathematik und erklärte das Wesen von Mathematik an dem Primzahlbeweis des Euklid und an der Begründung dafür, dass Wurzel aus 2 kein Bruch sein kann.

Wir nehmen an, dass es nur endlich viele Primzahlen
p1,p2,p3,..,pn gibt. Wie gesagt, es könnten sehr viele sein. Dann betrachten wir Q= p1 * p2 * p3 ... * pn + 1 also das Riesenprodukt aller dieser Primzahlen, vergrößert um 1.

Wenn nun diese Zahl Q auch eine Primzahl ist, so haben wir eine neue gefunden, denn Q ist ja sicher größer als jede der obigen Primzahlen pi. Das ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass wir schon alle hatten, als wir sie multiplizierten. Wenn jedoch Q keine Primzahl ist, so lässt sie sich in Primfaktoren zerlegen. Jeder dieser nun auftretenden Primfaktoren kann aber nicht zu unseren p1,p2,p3,..,pn gehören, weil er sonst auch die Zahl 1 (ohne Rest) teilen würde. Wir haben also jetzt wieder mindestens eine neue Primzahl gefunden und nun erneut einen Widerspruch. Es gibt tatsächlich unendlich viele Primzahlen. Wir haben eine tiefe Einsicht in die Mathematik gewonnen, und das mit einfachen Mitteln - wie schön.

Wo kann man mehr über Primzahlen lesen? Es gibt nahezu unendlich viele Bücher, die sich mit Primzahlen befassen. Ein Buch, das ich besonders liebe und empfehle:
Was ist Mathematik?, R. Courant und H. Robbins, Springer.
In ihm steht noch vieles andere über Primzahlen und viele andere wunderschöne Dinge aus der Welt der Mathematik. Und wenn Sie das Buch von Hardy, auch eines meiner Lieblingsbücher über Mathematik, lesen wollen:
A Mathematician´s Apology, G. H. Hardy, Cambridge University Press.
Es steht in der nächsten Universitätsbibliothek.

Rolf Neveling

 
 
Thursday, 23. November 2017 / 12:09:46