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Mathe-Treff: Magazin - Mathematische Geschichte
Magiematik - von Hans-Jürgen Elschenbroich, Korschenbroich

Der nachfolgende Artikel über magische Quadrate ist eine Zweitveröffentlichung: Er erschien vor einiger Zeit in Mathematik Lehren. Das stört aber überhaupt nicht: Bedenken Sie, dass magische Quadrate nahezu zeitlos sind, dass Dürer sicher nicht der erste war, der sie mochte und wir nicht die letzten, die sich mit ihnen befassen. Lassen sie sich von der Magie der magischen Quadrate verzaubern.

Der Autor Jürgen Elschenbroich gehört zu den Vätern des MatheTreffs. Er war Lehrer und Fachleiter in Neuss und arbeitet nun in der Medienberatung NRW im Medienzentrum Rheinland in Düsseldorf. Der Schwerpunkt seiner Interessen liegt jedoch eher nicht in der Zahlentheorie, sondern in der didaktischen Auseinandersetzung mit Dynamischer Geometriesoftware.

Am Samstag, den 6. Oktober 2002 hatte Alfred Weber in der Sendung "Wetten, dass?" ein magisches Quadrat mit 16 Feldern so gefüllt, dass die Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalsummen stets den von Mike Krüger vorgegebenen Wert 216784 hatten.

Nachdem er ein Millionenpublikum damit beeindruckt hatte und zum "Wettkönig" des Abends gekürt wurde, gab es dann Zuschauer, die fanden, er habe das Publikum 'reingelegt'. Er sah sich sogar mit der Schlagzeile "Ist der Wettkönig ein Betrüger?" (Rheinische Post vom 8.10.02) konfrontiert. Offensichtlich erwarteten diese Zuschauer lieber Zauberei als Mathematik und quittierten enttäuscht die Einsicht, dass Mathematik verbunden mit Kopfrechnen im Spiele war, mit einem Betrugsvorwurf!

An dieser Aufgabe lässt sich schön zeigen, was Mathematik ist und auch was sie vom Rechnen unterscheidet. Eine Lösung des magischen Quadrats ist schon 2200 v. Chr. in China bekannt gewesen und durch Dürers Bild Melancholia berühmt geworden. Eine solche Lösung ist sicherlich zuerst durch Ausprobieren gefunden worden, durch ein mehr oder weniger systematisches Rechnen.

Das von Alfred Weber benutzte Quadrat ist in der Grundform:

14

1

12

7

11

8

13

2

5

10

3

16

4

15

6

9

Es werden dabei die Zahlen von 1 bis 16 benutzt, alle Summen haben dann den Wert 34.

Die Mathematik kommt ins Spiel, wenn es darum geht, solche magischen Quadrate für beliebige Summenwerte zu erstellen. Dazu muss man natürlich die Festlegung auf die Benutzung der Zahlen 1 - 16 aufgeben.

Zunächst ist klar, dass man, wenn man alle Zahlen in den Feldern mit dem gleichen Faktor k multipliziert, wieder ein magisches Quadrat bekommt. Alfred Weber nahm dafür k = 4096, er hätte auch jede andere Zahl nehmen können. Das Quadrat sähe dann so aus:

14*4096

1*4096

12*4096

7*4096

11*4096

8*4096

13*4096

2*4096

5*4096

10*4096

3*4096

16*4096

4*4096

15*4096

6*4096

9*4096

und ausmultipliziert

  

57344

4096

49152

28672

45056

32768

53248

8192

20480

40960

12288

65536

16384

61440

24576

36864

Die Summen betragen darin jeweils 139264.

Dafür muss er das ursprüngliche magische Quadrat und die Vielfachen von 4096 auswendig wissen, sicher auch noch keine Mathematik.

Dies ist aber noch nicht das gewünschte magische Quadrat, denn so erhält man nur solche magischen Quadrate, deren Summen Vielfache von 34 sind. Dies zu erkennen, ist sicher Mathematik.

Nun wählt er vier Felder des Quadrats so aus, dass er in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen genau eins hat – die hier fett hervorgehobenen Zahlen:

57344

4096

49152

28672

45056

32768

53248

8192

20480

40960

12288

65536

16384

61440

24576

36864

Wenn er nur in diesen Feldern die Werte passend ändert, kann er damit alle Summen beliebig beeinflussen! Diese Struktur zu erkennen, ist sicher ebenfalls Mathematik.

Ist die gewünschte Summe jetzt 216784 und stehen in drei Feldern der Diagonalen schon die Zahlen 32768, 12288 und 36864, so muss er diese noch von dem gewünschten Wert 216784 abziehen. 216784 - (32768 + 12288 + 36864) ergibt 134864. Wird dieser Wert jetzt statt 57344 eingetragen, so wirkt sich diese Änderung nicht nur auf die Diagonale, sondern auch auf die zugehörige Zeile und Spalte aus und beeinflusst dort die Summe entsprechend!

134864

4096

49152

28672

45056

32768

53248

8192

20480

40960

12288

65536

16384

61440

24576

36864

Die anderen hervorgehobenen Zahlen werden dann in gleicher Weise behandelt. Jede Änderung wirkt nur auf Zeilen, Spalten und ggfs. Diagonalen, die noch nicht beeinflusst worden sind und in denen sich keine weiteren fett hervorgehobenen Zahlen stehen.
Man erhält so der Reihe nach:

134864

4096

49152

28672

45056

32768

53248

8192

20480

40960

12288

65536

16384

138960

24576

36864

134864

4096

49152

28672

45056

32768

130768

8192

20480

40960

12288

65536

16384

138960

24576

36864

134864

4096

49152

28672

45056

32768

130768

8192

20480

40960

12288

143056

16384

138960

24576

36864

Jetzt ist das magische Quadrat fertig und hat überall den gewünschten Summenwert.

Für einen anderen vorgegebenen Summenwert müsste man entsprechend verfahren.

Hier steckt weit mehr hinter als nur Rechnen, nämlich die Einsicht, dassman auf diese Weise zu beliebig vorgegebenen Summenwerten magische Quadrate konstruieren kann und wie man das macht. Das ist Mathematik, aus einer speziellen, experimentell gefundenen Lösung eine Verallgemeinerung zu entwickeln. Zum Existenzbeweis wird gleichzeitig ein konstruktives Verfahren, ein Algorithmus geliefert.

Setzt man im Unterricht neue Medien ein, so bietet es sich an dieser Stelle an, diesen Algorithmus in eine Excel-Tabelle umzusetzen, die bei Eingabe eines beliebigen Summenwertes ein entsprechendes magisches Quadrat liefert, wobei der Faktor 4096 natürlich auch durch eine beliebige andere Zahl ersetzt werden kann. Probiert man das denn mehrfach durch, so erkennt man, dass sich die berechneten Zahlen jeweils um Vielfache von k unterscheiden. Berechnet man mit dem benutzten Verfahren nur den Wert im 13-Feld, so braucht er für das 14-Feld nur noch k zu addieren, für das 15-Feld noch mal k addieren und für das 16-Feld ebenfalls. Dies ist für schnelles und fehlerfreies Kopfrechnen noch günstiger.

Weiter stellt sich dann die Frage, ob die vorgenommene Auswahl der vier Felder die einzig mögliche ist oder ob es weitere gibt und wenn ja, wie viele. Hierbei muss man kombinatorische Überlegungen anstellen, also Mathematik.

Auch lässt sich entsprechend untersuchen, ob die benutzte Grundform des magischen Quadrats die einzig mögliche ist oder ob sich weitere finden lassen. Dies lässt sich ‚klassisch’ wieder mit kombinatorischen Überlegungen lösen, beim Einsatz neuer Medien bietet sich ein Programm in der Logik-Programmiersprache PROLOG an.

Mathematik mit Kopfrechnen kombiniert und geschickt präsentiert vermittelte Alfred Weber einen Hauch von Zauberei, sinnigerweise bei magischen Quadraten. Wenn es uns öfter gelänge, mit solch einem Hauch von Magie Mathematik im Unterricht zu präsentieren, gewissermaßen Magiematik zu betreiben, würde unser Mathematikunterricht nicht nur unterhaltsamer, sondern auch wirksamer werden.