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Mathe-Treff: Magazin - Mathematische Geschichte
Zentralperspektive verstehen –
eine kleine mathematische Geschichte mit Euklid

von Christian Schött, Siegen

Diese kleine mathematische Geschichte ist eigentlich eine Seminararbeit, die im Sommersemester SS02 in Siegen entstand. Der Autor Christian Schött aus Gummersbach studiert im 7. Semester Mathematik und Physik in Siegen und entdeckte  seine Liebe zur Geometrie, speziell zur Perspektive mit dem Programm Euklid DynaGeo. Er konstruierte ein wunderbares Euklidprogramm, zum zu zeigen, wie das perspektivische Bild eines Quaders entsteht und sich verändert, wenn man den Quader etwa dreht.
Um alles zu verstehen und um mit dem Programm zu spielen, gehen Sie am besten so vor:  Sie lesen die nachfolgende Betriebsanleitung für die beiden Konstruktionen 1 und 2 und laden dann  zentralperspektive.zip, packen aus, starten Euklid und laden die beiden ausgepackten  Konstruktionen Konstruktion1.geo und Konstruktion2.geo. Die Betriebsanleitungen unter den beiden Bildern in diesem Text beziehen sich natürlich auf die beiden gerade genannten Euklidprogramme. Die Graphiken im folgenden Text lassen sich selbstverständlich nicht verändern. Wenn Sie Euklid noch nicht haben, so finden Sie es unter www.dynageo.de

Einfache zentralperspektivische Abbildungen lassen sich hervorragend mit Hilfe des dynamischen Geometrieprogramms Euklid veranschaulichen. Anhand der beiden hier zum Herunterladen bereitstehenden Konstruktionen ist es möglich, auf experimentellem Wege, ohne ausgiebiges Studium der dahinter steckenden Theorie, zur Erkenntnis wesentlicher Merkmale der Zentralperspektive zu gelangen.

Konstruktion 1:

Diese Konstruktion zeigt eine zentralperspektivische Abbildung einer von zwei parallelen Geraden begrenzten Straße in der Bodenebene, die sich mit den vom Augpunkt ausgehenden Sehstrahlen abtasten lässt. Das Bild erscheint auf der zur Bodenebene senkrechten Bildtafel.

Die folgenden Manipulationen der Konstruktion 1 sind möglich, wenn man mit der Maus an den Punkten A bis L zieht:

  • A, B, C: Veränderung der Position des Augpunktes,
  • D, E, F: Veränderung der Lage und der Breite der Straße,
  • G: Abtastung der Straße mit den Sehstrahlen,
  • H, I: Verschiebung der Bildtafel und Änderung ihrer Höhe,
  • J, K, L: Veränderung der Lage und der Größe des dargestellten Teils der Bodenebene.

Hinweis:
Es ist auch möglich, die Bildtafel von ihrer anderen Seite aus zu betrachten; dies lässt sich am bequemsten erreichen, indem man mit der Maus nicht an einem Punkt, sondern an einer der grün ausgefüllten Flächen der Bodenebene zieht.

Konstruktion 2:

In dieser Konstruktion lässt sich eine zentralperspektivische Abbildung eines Quaders beobachten. Dem Quader ist neben seinen drei Translationsfreiheitsgraden ein Rotationsfreiheitsgrad geschenkt worden. In der Ausgangskonfiguration der Konstruktion ist eine Quaderfläche parallel zur Bildtafel ausgerichtet. Lässt man den Quader um seine Rotationsachse rotieren, so kommt ein weiterer Fluchtpunkt ins Spiel.

Die folgenden Manipulationen der Konstruktion 2 sind möglich, wenn man mit der Maus an den Punkten A bis R zieht:

  • A, B, C: Veränderung der Position des Augpunktes,
  • D, E, F: Veränderung der Position des Quaders,
  • G, H, I: Veränderung der Kantenlängen des Quaders,
  • J: Rotation des Quaders,
  • K, L, M: Veränderung der Lage und der Breite der Straße,
  • N, O: Verschiebung der Bildtafel und Änderung ihrer Höhe,
  • P, Q, R: Veränderung der Lage und der Größe des dargestellten Teils der Bodenebene.

Hinweis:
Es ist auch hier möglich, die Bildtafel von ihrer anderen Seite aus zu betrachten; dies lässt sich wieder am bequemsten erreichen, indem man mit der Maus nicht an einem Punkt, sondern an einer der grün ausgefüllten Flächen der Bodenebene zieht.

Siegen, im Juli 2002
Christian Schött

Fragen oder Verbesserungsvorschläge sende man bitte an Christian Schött <christian.schoett@t-online.de>