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Mathe-Treff Magazin: Mathe & Leute

Jörg Bewersdorff und die Algebra

Jeder kennt die p-q-Formel für quadratische Gleichungen. In der Renaissance wurden dann Formeln zur Lösungen von Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden. Man nennt sie Cardanosche Formeln, und sie sind recht kompliziert. Was ist aber dann mit einer Gleichung wie etwa

x hoch 5 - x - 1 = 0                         ,

die so einfach aussieht, aber den Grad fünf hat?

Gauß wies nach, dass jede Gleichung diesen Typs fünf Lösungen hat. Man weiß heute jedoch, dass sich die Lösungen solcher Gleichungen sehr häufig nicht mit Hilfe von Wurzeln im Sinne der p-q-Formel darstellen lassen. Die obige Gleichung gehört dazu. Mancher denkt jetzt sicher, das ist gut und schön, aber man bekommt die Lösungen dann eben anders. Richtig. Die Einsichten, die das Wurzel-Lösungs-Problem aber vermittelt, waren jedoch der Anfang der modernen Mathematik, und das ist das Wesentliche in diesem Problemkreis. Überlegungen, die sich mit diesen Fragestellungen befassen, fallen in den Bereich der Algebra: Algebra ist mehr als Termumformung und Langeweile.

Der Mathematiker Jörg Bewersdorff hat ein wunderschönes Buch geschrieben, das in diesen Fragenkomplex einführt und sich an der geschichtlichen Entwicklung der Algebra orientiert.

Er studierte ab 1975 in Bonn Mathematik und Informatik und arbeitete dann am Max-Plank-Institut in Bonn. 1985 promovierte er. Er lebt in Limburg und ist beruflich tätig in der Automatenwirtschaft. Im Nebenberuf ist er als Sachbuchautor tätig und hat neben dem Algebrabuch ein Buch über die Mathematik der Spiele geschrieben.

Schießlich muss noch erwähnt werden, das er zwei Homepages betreibt: www.bewersdorff-online.de und www.galois-theorie.de .

Foto von Jörg Bewersdorff

MT: Sehr geehrter Herr Dr. Bewersdorff,

 

vor wenigen Jahren haben Sie ein Buch geschrieben, das nun schon in der dritten Auflage erschienen ist und sogar ins Englische übersetzt wurde:

Jörg Bewersdorff
Algebra für Einsteiger
Wiesbaden 2007

Ihrem Buch kann man entnehmen, dass Sie sich seit dem Alter von fünfzehn für Algebra interessieren. Wie kam das?

J. Bewersdorff:

Ich hatte damals Bells Buch „Die großen Mathematiker“ gelesen. Tief beeindruckt hat mich die dramatische Geschichte von Galois, der ja bekanntlich im Alter von 20 Jahren an den Folgen eines Duells verstarb. Da wollte ich natürlich seine mathematischen Ideen verstehen. Mein erster Versuch startete mit dem 12-bändigen Brockhaus meiner Eltern. Aus heutiger Sicht, wo man Wikipedia und Google hat, erscheint das sicher sehr naiv.

Mein Buch ist ein Versuch, die Fragen und Verständnisprobleme, die ich damals hatte, auf einem entsprechenden Niveau zu beantworten. Dass mein Buch heute im 30-bändigen Brockhaus referenziert wird, schließt den Kreis.

MT: In der Algebra geht es um die Lösung von speziellen Gleichungen, aber nicht nur darum. Was sind das für Gleichungen und um was geht es noch?

J. Bewersdorff:

Es geht um (Polynom-)Gleichungen in einer Unbekannten. Quadratische Gleichungen löst man ja bereits in der Schule. Viel komplizierter sind die analogen Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades. Aber für Gleichungen ab dem fünften Grad gibt es keine allgemeine Lösungsformel mehr auf Basis von Wurzelausdrücken. Über 100 Jahre haben Mathematiker vergeblich danach gesucht, bis 1824 Abel die Unmöglichkeit einer solchen Formel nachwies. Etwas später erkannte dann Galois das allgemeine Prinzip, das dahinter steckt.

MT: Unter anderem befassen Sie sich ausführlich mit der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken, etwa dem 17-Eck und dem 5-Eck. Man könnte denken, das ist doch ganz einfach.

J. Bewersdorff:

Mit Zirkel und Lineal eben nicht. Da ist ja schon manche Dreieckskonstruktion knifflig. Und auch die meisten regelmäßigen Vielecke wie die mit 7, 9, 11 oder 13 Ecken sind nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Das hängt nämlich jeweils davon ab, ob die dazu gehörende (Kreisteilungs-) Gleichung allein mit Quadratwurzeln lösbar ist. Zusammen mit der Folgerung, dass das regelmäßige 17-Eck konstruierbar ist, hat dies der 18-jährige Gauß entdeckt. Zu den Umständen bemerkte er übrigens: „Durch angestrengtes Nachdenken ... morgens (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“.

MT: Wieso gehört, wie Sie schreiben, der Fundamentalsatz der Algebra eigentlich gar nicht zur Algebra?

J. Bewersdorff:

Der Satz besagt, dass ein Polynom n-ten Grades n (nicht unbedingt verschiedene) Lösungen im Bereich der komplexen Zahlen besitzt. Nun werden die komplexen Zahlen genauso wie die reellen Zahlen aber wesentlich durch nicht-algebraische Eigenschaften, beispielsweise Grenzwertprozesse betreffend, charakterisiert. Und solche Eigenschaften spielen natürlich auch im Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra eine Rolle. Den ersten Beweis dafür lieferte übrigens Gauß in seiner Dissertation. In meinem Buch gebe ich neben einem strengen Beweis auch ein ganz einfaches, direkt einleuchtendes Argument dafür, dass der Fundamentalsatz einfach stimmen muss.

MT: Berühmte Algebraiker waren Paolo Ruffini und Niels Henrik Abel. Welche Rolle spielten sie in der Algebra?

J. Bewersdorff:

Dass Abel als erster die Unmöglichkeit bewiesen hat, eine allgemeine Auflösungsformel für Gleichungen fünften Grades finden zu können, habe ich bereits erwähnt. Der weit weniger bekannte Ruffini hat ein entscheidendes Argument bereits ein paar Jahre zuvor in lückenhaften Beweisversuchen verwendet. Nimmt man diese Lücke in Kauf, kann man mit Ruffinis Argumenten auf elementarem Niveau erkennen, warum es für Gleichungen fünften Grades keine allgemeine Lösungsformel mit Wurzeln geben kann. Dazu nimmt man hypothetisch die Existenz einer Auflösungsformel an und weist dann für die Zwischenwerte dieser Formel schrittweise nach, dass sie gewisse Symmetrien in Bezug auf die fünf Lösungen erfüllen. So gelangt man schließlich zu einem Widerspruch.

MT: Womit befasst sich die Galois-Theorie? Kann man das in wenigen Worten sagen?

J. Bewersdorff:

Im Prinzip wird die Kompliziertheit einer Gleichung gemessen. Nicht direkt mit einer Zahl, sondern mit einem Objekt endlicher Größe, nämlich der so genannten Galois-Gruppe, die Symmetrien zwischen den Lösungen der Gleichungen beschreibt. Gleichungen, die mit Wurzeln lösbar sind, erkennt man daran, dass ihren Galois-Gruppen bestimmte Konstruktionsprinzipien zugrunde liegen.

MT: Man sagt, mit der Algebra begann die „moderne Mathematik“. Wie sehen Sie das?

J. Bewersdorff:

Ganz so würde ich das nicht sagen. Algebra wurde schon vor 1200 Jahren von islamischen Gelehrten in Bagdad betrieben. Nach einem von ihnen, nämlich al-Khwarizmi, wurde später die „Algebra” benannt.

Für die moderne Mathematik typisch und damit wegweisend ist allerdings die zentrale Idee von Galois: Um Objekte eines bestimmten Typs zu untersuchen, wird jedem solchen Objekt ein Objekt eines anderen Typs zugeordnet, das einfacher untersuchbar ist. Konkret hat Galois jedem zu untersuchenden Polynom eine Gruppe zugeordnet. Da diese Zuordnung einigermaßen abstrakt definiert ist, ist die Berechnung einer konkreten Galois-Gruppe übrigens meist keineswegs einfach. Anfängern erschwert diese schwierige Konkretisierung oft das Verständnis. Ich verweise diesbezüglich gerne auf die Physik, wo man die Zahl der Elektronen eines Elementes auch nicht ad hoc bestimmen kann und trotzdem bereit ist zu glauben, dass diese Zahl eindeutig ist.

Zur modernen Mathematik gehören aber nicht nur Ideen, sondern auch Begriffskonzepte wie Menge, Abbildung, Gruppe und Körper, und die sind erst einige Jahrzehnte nach Galois’ Tod zum Ende des neunzehnten Jahrhunderts entstanden.

MT: Und eine letzte Frage: Sollte man heutzutage wissen, was eine komplexe Zahl ist, auch wenn man kein Mathematiker oder Naturwissenschaftler ist?

J. Bewersdorff:

Nein, auch Naturwissenschaftler und Mathematiker haben ja Grenzen in ihrer Allgemeinbildung. Allerdings ärgert es mich, wenn jemand mit Unwissen über Mathematik kokettiert.

Buchcover Algebra für Einsteiger

MT: Vielen Dank für das Interview.

(nev)

 

 

 

 
 
Sonntag, 26. Oktober 2014 / 02:13:24