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Mathe und Leute:

Regina Bruder über den Einsatz von Computer-Algebra-Systemen im Mathematikunterricht der Oberstufe

Bild von Regina BruderRegina Bruder ist seit 2001 Professorin für Didaktik der Mathematik an der TU Darmstadt. Zuvor hat sie in Berlin und dann vor allem 10 Jahre an der Odenwaldschule unterrichtet. Die Beschäftigung mit Computer-Algebra-Systemen, kurz CAS, gehört zu ihren Arbeitsschwerpunkten.

Aber ihre Welt besteht natürlich nicht nur aus Mathematik: Sie segelt gerne, und sie reist gerne, besonders in die Ferne nach Australien. Wenn sie liest, dann vor allem über Wissenschafts- und Ideengeschichte. Frau Bruder ist verheiratet und hat zwei erwachsene Söhne.

 

 

MT:
Sehr geehrte Frau Professor Bruder, vor kurzer Zeit haben Sie ein Heft herausgegeben, in dem ein Modellversuch zum Einsatz von Computer-Algebra-Systemen, kurz CAS, an einigen Schulen in Hessen vorgestellt wird:

Prof. Dr. Regina Bruder (Hrsg.)
Aufgaben mit CAS-Einsatz
2006 Texas Instruments

Es handelt sich um interessante Aufgaben zu unterschiedlichen Themen, die im Unterricht durchaus machbar sind. In der Einleitung schreiben Sie, dass die Bearbeitung der Aufgaben mit CAS zu einem Mehrwert an mathematischer Kompetenz führen kann – wieso?

R. Bruder:
Gemeint sind zum einen solche recht anspruchsvollen Kompetenzen, wie sie in den Bildungsstandards gefordert werden, also Mathematisches Modellieren, Problemlösen, Argumentieren und Kommunizieren und zum anderen sind adäquate Vorstellungen über Mathematik angesprochen. CAS-Einsatz bietet nicht nur eine willkommene Arbeitserleichterung bei komplizierten und fehleranfälligen Berechnungen sondern ermöglicht einen experimentellen Zugang beim Mathematisieren eines Sachverhaltes, indem relativ einfach und schnell verschiedene Möglichkeiten einer mathematischen Beschreibung ausprobiert werden können. Verhält sich ein Zusammenhang linear, quadratisch, exponentiell? Was passiert mit den gewünschten Eigenschaften einer Funktion, wenn ich Koeffizienten in meiner Gleichung variiere? Unterscheiden sich arithmetisches Mittel und Median in meinen Stichproben und was bedeutet das? Wenn man seine Ideen und Experimentierergebnisse schließlich anderen mitteilen möchte, wird Argumentieren und Kommunizieren in einer natürlichen und gar nicht künstlich didaktisierten Art und Weise gefordert und gefördert.

MT:
Wie soll man im Kurs vorgehen, wenn man seinen Schülerinnen und Schülern Aufgaben aus Ihrem Heft stellen möchte, aber noch keine eigene CAS-Erfahrung hat? Sie schreiben, es bedürfe keiner langen Einarbeitungszeit.

R. Bruder:
Als Lehrkraft wird es ohne eigenes Einarbeiten in ein Computer-Algebra-System nicht gehen und es wäre schön geredet, würde man behaupten, dass ein CAS selbst erklärend ist. Man wird schon die eine oder andere Stunde benötigen, um sich selbst einigermaßen fit zu machen. Entscheidend ist jedoch, wie man dabei vorgeht: Arbeiten Sie systematisch ein Handbuch durch oder versuchen Sie lieber, anhand einer konkreten Problemstellung die Möglichkeiten des Systems zu erfahren? Für den Unterricht hat sich gezeigt, dass es wenig Sinn macht, in langen „Vorbereitungskursen“ mit den Schülern ein CAS auf „Vorrat“ zu erlernen. Technische Details werden einfach schnell wieder vergessen, wenn man sie nicht permanent benötigt. Viel effektiver ist es, anhand konkreter Aufgabenstellungen bestimmte Funktionen kennen zu lernen und sich so schrittweise eine verfügbare Werkzeugkompetenz zu erarbeiten.

MT:
Bei Extremwertaufgaben, etwa bei der optimierten Saftdose, liegt das Schwergewicht darin, die Zielfunktion zu finden. Sie wird dann dargestellt, und die Minimumfunktion führt zum Extremum. Die üblichen Rechenverfahren werden also nicht mehr bemüht. Ist das nicht eine Verarmung?

R. Bruder:
Wenn der Reichtum und die Wertschätzung mathematischer Kompetenz gerade im stundenlangen Einüben solcher Rechenverfahren gesehen werden, dann müsste man wohl von Verarmung sprechen. Es ist eine Frage der Schwerpunktsetzung. Das Rechnen ohne CAS soll ja gar nicht völlig abgeschafft werden. Allerdings muss die Frage gestattet sein, was denn von diesen bisher formal eingeübten Rechenverfahren nach dem Schreiben der Klausur zu diesem Thema bzw. nach der Abiturprüfung mit solchen Aufgaben noch „bleibt“? Wäre es da nicht sinnvoller, sich nach einem oder zwei selbst gerechneten Musterbeispielen mit Konzepten des Optimierens mit Hilfe der Mathematik auseinander zu setzen, Vorstellungen zu entwickeln, wo vergleichbare Optimierungsfragestellungen auftreten und wie man sie (nach bestimmten Annahmen) mathematisch bearbeiten könnte und wann die kennen gelernten Instrumente versagen? Welcher Reichtum an relevantem und durchaus auch individuell bedeutsamem Mathematikverständnis steht dem verlorenen Rechnenkönnen dann gegenüber!

MT:
Die Bierschaumaufgabe wird mit exponentieller Regression gelöst. Das zeigt die Stärke des wunderbaren Hilfsmittels CAS. Manche Kolleginnen und Kollegen denken da sicher, das ist zu hoch gegriffen.

R. Bruder:
Warum sollten wir den Schülern exemplarisch nicht auch einmal ein starkes Hilfsmittel zeigen? Sollen wir es vorenthalten, nur weil wir es zeitlich nicht schaffen, alle Verfahren systematisch einzuführen, sorgfältig und für alle verständlich zu begründen und schließlich ausführlich zu üben bis es (fast) alle können? Es wäre wichtig, auch im Mathematikunterricht über verschiedene Level der Beherrschung von Wissen nachzudenken, gerade auch unter dem Blickwinkel von differenzierenden Lernangeboten. Es müssen vielleicht nicht alle Regression können und es sollte auch nicht den „einzig wahren“ Lösungsweg geben, auf den alle eingeschworen werden. Eine Vision für einen modernen sinnhaften Mathematikunterricht besteht darin, dass die Schüler/innen Gelegenheit erhalten, verschiedene Wege und Werkzeuge zur Bearbeitung typischer Problemsituationen kennen zu lernen, um dann für sich auszuwählen.

MT:
In einer Aufgabe wird zu zwei parallel verlaufenden Straßen an deren Enden ein Verbindungsstück gesucht. Worin liegt der Wert dieser Aufgabe?

R. Bruder:
Es handelt sich hier um eine so genannte eingekleidete Aufgabe, die nicht mit einem aufregenden konkreten Sachbezug glänzen kann und will. Diese Aufgabe steht prototypisch für Modellieren mit gut verstandenen Eigenschaften von Polynomfunktionen. Anhand der dokumentierten Schülerlösung wird sehr schön sichtbar, wie man sich durch mehrfaches Durchlaufen eines Modellierungsprozesses geeigneten Lösungen nähern kann. Man muss zunächst klären, was eine geeignete Verbindung der beiden Straßen sein soll. An dieser Aufgabe kann man einiges über Modellannahmen und das Mathematisieren einer Situation lernen. Die Vorgabe, dass man es mit Polynomen 3. und 5. Grades probieren soll, ist eine legitime Hilfestellung, die noch immer viel Spielraum für Umsetzungen lässt.

MT:
Wenn ich ein starkes Hilfsmittel zur Verfügung habe, wende ich es auch in den einfachsten Fällen an, siehe etwa Aufgabe 1. Schüler werden dem gerne folgen. Stellt das nicht eine Gefahr dar für den Mathematikunterricht ?

R. Bruder:
Man kann es wohl kaum verhindern, dass Schüler den Rechner auch anders einsetzen, als wir uns das gerne vorstellen und wünschen. Aber deshalb auf CAS zu verzichten, grenzt in meinen Augen fast an Maschinenstürmerei. Gegen steuern kann man vor allem in zwei Richtungen: Reflexionselemente gewinnen immer mehr an Bedeutung, indem am Ende einer Aufgabenbearbeitung die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten in ihren Vorzügen und Nachteilen noch einmal verglichen werden. So entstehen langfristig Maßstäbe und Vorstellungen zu einem sinnvollen Rechnereinsatz als Orientierungshilfe. Parallel dazu ist zu empfehlen, immer wieder Phasen ohne Rechner in den Unterricht einzubauen, so dass es ein definiertes Basiswissen und –können auch noch ohne Rechner geben muss. Dazu würden z.B. Vorstellungen über typische Funktionsverläufe gehören, um sie als Mathematisierungsmuster erkennen zu können. So kann man der Gefahr blinder Rechnerabhängigkeit durchaus erfolgreich entgegen treten.

MT:
Gibt es eine Aufgabe, die Ihnen besonders gut gefällt und warum?

R.Bruder:
Mir gefallen offenere Aufgaben besonders gut, die einen gewissen echten Realitätsbezug und möglichst auch noch Variationspotenzial haben und von den Schülern eigene Interpretationen ihrer Ergebnisse erwarten. Die Aufgabe 19 mit dem Super-Geländewagen geht in diese Richtung. Man kann sich nämlich auch noch fragen, wie denn die im Text angegebene Funktionsgleichung eigentlich zustande kommt. In dem Kontext steckt einiges bzgl. Modellierung und mathematischem Begriffsverständnis, das finde ich spannend!

MT:
Vielen Dank für das Interview.

(nev)  

 
 
Saturday, 25. November 2017 / 08:58:34