brlogo
untitled
   
   
   
   
 

Mathe-Treff Mehr Mathematik

Die endliche geometrische Reihe

 

Unter einer endlichen geometrischen Reihe versteht man die Summe

(1) image002

Entsprechend heißt die unendliche Summe

image004

unendliche geometrische Reihe. Die drei Punkte am Ende deuten also an, dass unendliche viel Summanden vom Typ  image006 addiert werden sollen.

Wie berechnet man solche Summen möglichst geschickt? In diesem kleinen Kapitel befassen wir uns mit dem endliche Fall. Demnächst an dieser Stelle mehr.

Wir betrachten zunächst ein Beispiel, in dem wir image008  setzen und  den Summenwert s dieser endlichen Reihe

(2) image010

für den Fall n=10 berechnen.

Wir könnten natürlich

image012

summandenweise addierten; aber es gibt einen sehr wertvollen Trick, den wir nun anwenden: Wir multiplizieren die Reihen in (2)  - natürlich beide Seiten - mit image014 und erhalten dann

(3) image016

Ziehen wir nun von der Reihe (2) die Reihe (3) ab, so fallen alle mittleren Summanden weg und es ergibt sich

image018

Wenn wir nun noch die Gleichung mit 2 multiplizieren, ergibt sich die schöne Darstellung

(4) image020

Das war der erste Teil des Gedankens.

Wenn man sich das Beispiel richtig anschaut, wir sofort klar, wie man den Gedanken verallgemeinern kann. Wir setzen wieder

(5) image022

multiplizieren mit q und erhalten

(6) image024bzw.

(7) image026

Wir ziehen von Reihe (5) die Reihe (7) ab und erhalten analog zu oben

image028

Indem wir nun noch beide Seiten durch die Klammer image030  teilen, erhalten wir die Summenformel für die endliche geometrische Reihe

image032

So kann man auf bequeme Weise endliche geometrische Reihenwerte berechnen, ein überzeugendes Ergebnis. Aber mit dieser Formel kann man noch viel, viel mehr anfangen. Wie gesagt, davon demnächst mehr an dieser Stelle.

(nev)

 
 
Saturday, 18. November 2017 / 03:35:28