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Mathe-Treff Mehr Mathematik

Es gibt unendlich viele Primzahlen

Unter den Primzahlen versteht man die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., also alle natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Die Zahl 1 wird also nicht zu den Primzahlen gerechnet.

PrimzahlenNun stellt sich die Frage, ob diese Folge der Primzahlen irgendwann einmal abbricht, ob es also eine größte Primzahl gibt, so dass in den natürlichen Zahlen oberhalb dieser Zahl keine Primzahlen mehr auftauchen. Wenn Sie sich diese Frage einmal richtig vor Augen führen, so sehen Sie, dass eine Antwort keineswegs sofort klar ist: Eine letzte größte Primzahl könnte sehr, sehr groß sein, sie könnte jenseits aller unserer Anschauung liegen. Für diese Frage hat man einfach kein Gefühl mehr.

Um ca. 300 v. Chr. bewies Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Neben Euklids Beweis gibt es viele andere. Einige finden sich in dem schönen Buch von Martin Aigner und Günter M. Ziegler Das Buch der Beweise, Berlin 2002. Euklids Beweis gilt unter Mathematikern als einer der schönsten überhaupt: Er ist grundlegend und wichtig, er ist kurz und elegant. Und er ist indirekt.

Vermutung: Es gibt unendliche viele Primzahlen

Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Wir stellen und vor, dass das die Zahlen

 (1)      2,3,5,7,...,p

sind. p wäre dann also die letzte Primzahl, also eine vermutlich riesig große Zahl.

Wir bilden nun die Zahl

(2)      Q = 2 mal 3 mal 5 mal 7 mal ... mal p+1.

Zu dem Produkt aller Primzahlen wird also die Zahl 1 addiert, und genau darin liegt der Trick. Wegen dieser 1 ist die Zahl Q durch keine unserer Primzahlen aus (1) teilbar; es ergäbe sich jeweils der Rest 1.

  • Wenn also Q nun eine Primzahl ist, haben wir neue gefunden, da Q natürlich größer ist als alle Primzahlen in (1). Damit haben wir einen Widerspruch, denn in (1) haben wir ja angenommen, dass wir alle Primzahlen aufgelistet haben.
  • Wenn Q keine Primzahl ist, dann können wir sie in Primfaktoren zerlegen, so wie wir jede natürliche Zahl in Primfaktoren zerlegen können. Jeder dieser Primfaktoren kann aber nicht in (1) vorkommen, weil die dort auftretenden Primzahlen ja wegen (2) die Zahl Q nicht teilen. Also haben wir auch in diesem Fall mindestens eine neue Primzahl gefunden, wiederum ein Widerspruch zu der obigen Annahme.

In beiden Fällen haben wir eine Widerspruch. Unsere Annahme ist falsch, es gibt demnach unendlich viel Primzahlen.

Ein indirekter Beweis funktioniert also so: Man vermutet einen Sachverhalt, formuliert das Gegenteil der Vermutung als Annahme und zeigt dann, dass die Annahme zum Widerspruch führt.

Übrigens: Mit Computer-Algebra-Systemen kann man sich leicht eine Liste von Primzahlen besorgen. Die obige Liste der ersten 200 Primzahlen wurde mit Mathematica und dem Befehl

Table[Prime[n],{n,200}]

erzeugt.

(nev)

 
 
Thursday, 23. November 2017 / 12:13:30