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Mathe-Treff - Mehr Mathematik

Primzahlen sind rätselhaft

Eine Primzahl ist bekanntlich eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, 1 ist also keine Primzahl. Teilen bedeutet hier Teilen ohne Rest bzw. der Rest ist null. Nun sollte man meinen, dass die Primzahlen, die so einfach zu erklären sind, mathematisch außerordentlich einfache Objekte sind. Sie sind es nicht, und das soll im folgenden an zwei berühmten Beispielen verdeutlicht werden.

Beispiel 1: Die Goldbachsche Vermutung

Brief von Goldbach an EulerDer Diplomat und Hobby-Mathematiker Christian Goldbach lebte von 1690 bis 1764, also etwa zur Goethezeit. Er vermutete, dass jede positive gerade Zahl ab 4 als Summe von  zwei Primzahlen zu schreiben ist, also

4= 2+2, 7=2+5, 12=5+7, 30=7+23 und 30=11+19, usw.

An der Zahl 30 sieht man, dass die Darstellung nicht eindeutig ist.

Das Wesentliche der Aussage liegt darin, dass sie für jede positive ganze Zahl gilt. Aber es ist leider nur eine Vermutung, und das seit ca. dreihundert Jahren. Der Russische Mathematiker Schnirelmann (1905-1938) bewies, dass sich jede positive gerade Zahl als Summe von höchstens 30000 Primzahlen darstellen lässt. Etwas später konnte der russische Mathematiker Vinogradoff mit Hilfe von Methoden, die von den Engländern Hardy und Littlewood und dem Inder Ramanujan stammen, das Ergebnis von Schnirelmann wesentlich verbessern: Ab einer gewissen Zahl N lässt sich jede größere ganze Zahl als Summe von 4 Primzahlen schreiben. Von der Zahl N weiß man leider nur, dass es sie gibt - mehr nicht.

Die Graphik zeigt den Brief, in dem Goldbach seine Vermutung dem Mathematiker Leonhard Euler mitteilte.

Beispiel 2: Primzahlzwillinge

Primzahlzwillinge sind Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 ist. Also, 3 und 5, 11 und 13, 17 und 19, 29 und 31 usw. Man kann sich die Frage stellen, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Keiner weiß es. Das Problem hat übrigens seine speziellen Aspekte: Wenn man die reziproken Werte aller Primzahlzwillinge addiert,

Formel

so ist ihre Reihe konvergent, d. h. es gibt einen endlichen Grenzwert. Das bewies der norwegische Mathematiker Viggo Brun. Man hat also keinen Überblick über den Bestand der Reihe, aber man weiß von ihrer Konvergenz. Wäre diese Reihe divergent, so wüsste man, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, so allerdings leider nicht.

Man könnte nun auf die Idee kommen, das beweise ich jetzt und fange mit meinen Überlegungen auch sofort an. Warum eigentlich nicht. Aber es ist große Vorsicht geboten: Zu beweisen, dass es unendlich viel Primzahlzwillinge gibt, könnte in den Wahnsinn führen, und wer will das schon.

(nev)

 

 
 
Monday, 20. November 2017 / 01:27:27