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Team-Wettbewerb 1998

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 1998
Aufgaben für die Klassen 9/10

Die Aufgaben sind für die Klassenstufen 9 und 10.
Einsendeschluss: 10. Juni 1998 - 12:00 Uhr

1. Aufgabe:

Mit der folgenden Konstruktion kann man einen Winkel a ausschliesslich mit Zirkel und Lineal verdoppeln und verdreifachen:

Wähle eine Länge r (nicht zu klein) und bestimme A auf dem Schenkel g so, daß der Abstand ist. Mit einem Kreis um A mit dem Radius findet man B auf dem anderen Schenkel h so, daß ist. Entsprechend kommt man zu C. Die eingezeichneten Winkel bei A und bei B sind dann doppelt bzw. dreimal so groß wie der Winkel bei S.

  1. Warum ist b2 dreimal so gross wie a?
  2. Wie gross darf der Winkel a höchstens sein, damit das Konstruktionsverfahren zur Verdreifachung noch funktioniert?
  3. Mathematiker haben herausgefunden, dass mit Zirkel und Lineal ausser in Sonderfällen keine Winkeldrittelung durchführbar ist.
    Zeige an Hand eines geeigneten Beispiels, welche Probleme sich ausgehend von b3 bei der Konstruktion von a ergeben würden.

    ACHTUNG FEHLER: statt b3 muss es b2 heissen.

2.Aufgabe:

Die Herren Abel, Bertram, Caesar und Dorl wohnen in einem Ort. Von Beruf sind sie Klavierlehrer, Lateinlehrer, Mülltonnenleerer und Nachhilfelehrer.

Es ist bekannt:

  1. Abel und Bertram sind Nachbarn und fahren gemeinsam zur Arbeit.
  2. Bertram ist älter als Caesar.
  3. Abel ist mit Dorl zusammen im Fußballverein.
  4. Der Klavierlehrer arbeitet immer zu Hause.
  5. Der Nachhilfelehrer wohnt nicht neben dem Lateinlehrer.
  6. Der Mülltonnenleerer und der Nachhilfelehrer haben sich noch nie getroffen.
  7. Der Nachhilfelehrer ist älter als der Lateinlehrer und der Mülltonnenleerer.

Bestimme zu jedem der Herren seinen Beruf.

3. Aufgabe:

Auf einem Blatt Papier werden mit einem Lineal 4 gerade Linien gezogen, die jeweils von Rand zu Rand verlaufen. Längs dieser Linien wird das Blatt zerschnitten.

In der Zeichnung ist ein Beispiel dargestellt.

jk56-h2.jpg (5907 Byte)

  1. Wie viele Papierschnipsel können dabei entstehen. Gebt alle Möglichkeiten an.
  2. Begründet, daß es nicht mehr Möglichkeiten, als die in Teil a) genannten geben kann.

Nun sollen n Linien auf dem Blatt gezogen werden.

  1. Findet eine allgemeine Formel, mit der die Maximalzahl der entstehenden Papierstücke berechnet werden kann.

4. Aufgabe:

Vier Vögel können vier Raupen in vier Minuten fressen.
Wie viele Minuten dauert es, bis zehn Vögel zehn Raupen gefressen haben?

Team-Wettbewerb 1998