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Team-Wettbewerb 1998

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 1998
Lösungen der Aufgaben für die Stufen 11 bis 13

1. Aufgabe:

Die beiden ungeraden Zahlen a und b ( mit a größer b ) lassen sich in der Form
a = 2m + 1 und b = 2n + 1 ( mit m größer n, m,n aus IN ) darstellen.
Für die Differenz der Quadrate gilt:

Sind m und n beide gerade oder ungerade, so ist der Term m-n eine gerade Zahl.
Ist genau eine der beiden Zahlen m oder n gerade, die andere aber ungerade, dann stellt m+n+1 eine gerade Zahl dar.
Das o. g. Produkt ist deshalb mindestens durch 8 teilbar.

2.Aufgabe:

wpeD.jpg (11791 Byte)

In der Zeichnung sieht es so aus, als würden bei geeigneter Anordnung 68 Kreise in das Quadrat passen. Es ist nachzurechnen, ob das wirklich der Fall ist. Dazu wird berechnet, wie hoch jeweils die Mittelpunkte der nächsten Reihe liegen.

wpeE.jpg (7617 Byte)

Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks beträgt nach dem Satz des Pythagoras . Die 9 Reihen der Kreise haben damit eine Höhe von und passen somit in das Quadrat.

3. Aufgabe:

  1. Man kann höchstens 11 und mindestens 5 Papierschnipsel erzeugen. Für jede Möglichkeit ist ein Beispiel angegeben:
    wpe5.jpg (22962 Byte)
  2. Man beobachtet, daß sich um so mehr Schnipsel ergeben je mehr Schnittpunkte die Linien haben. Wie viele Schnittpunkte können nun 4 Geraden miteinander maximal haben? Wählt man eine Gerade aus, so kann sie die drei anderen schneiden, also 3 Schnittpunkte. Betrachtet man nun eine weitere Gerade, so kann sie ebenfalls drei Schnittpunkte mit den anderen Geraden haben. Da der Schnittpunkt mit der ersten Gerade aber bereits mitgezählt wurde, gibt es noch 2 neue Schnittpunkte. Von den 3 Schnittpunkten der letzten Geraden sind bereits 2 mitgezählt, also kommt noch einer hinzu. Damit sind maximal 6 Schnittpunkte möglich, die auf dem 1. Bild dargestellt sind. Sie ergeben 11 Papierschnipsel.
    Es ist im anderen Extremfall möglich, daß die Geraden auf dem Blatt gar keine Schnittpunkte haben. Dann gibt es 5 Schnipsel.
  3. Durch Ausprobieren findet man folgende Tabelle:
Anzahl der Geraden Anzahl der Schnipsel

1

2

2

4

3

7

4

11

Team-Wettbewerb 1998

Ein möglicher Term, der zur Anzahl der Geraden die Anzahl der Schnipsel liefert, könnte sein:

  1. Beweis durch vollständige Induktion:
    Der Induktionsanfang ist durch die Tabelle bereits geleistet.
    Die Gültigkeit des Terms sei für n Geraden vorausgesetzt. Wird nun eine weitere Gerade auf das Blatt gezeichnet, kann sie im Extremfall alle bisherigen n Geraden einmal schneiden. Dabei werden n+1 Flächenstücke zerschnitten. Also wächst die Anzahl um n+1.
    Nun ist und damit die Gültigkeit des Terms für n+1 bewiesen.

4. Aufgabe:

4 Vögel fressen 4 Raupen in 4 Minuten.

1 Vogel frißt 4 Raupen in 16 Minuten.

1 Vogel frißt 10 Raupen in 40 Minuten.

10 Vögel fressen 10 Raupen in 4 Minuten.

Team-Wettbewerb 1998