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Team-Wettbewerb 1999

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 1999
Aufgaben für die Oberstufe

Die Aufgaben sind für die gymnasiale Oberstufe
Einsendeschluss: 14. Juni 1999 - 12:00 Uhr

1. Aufgabe:

In dieser Aufgabe sollen die Dreiecke, die von Geraden in einer Ebene gebildet werden, betrachtet werden.

In der Zeichnung liegen als Beispiel 4 Geraden so, daß sie insgesamt vier Dreiecke bilden.

4ger3.gif (4740 Byte)

Man kann die Geraden aber auch so anordnen, daß sie nur zwei Dreiecke, ein Dreieck oder gar kein Dreieck bilden.

  1. Verwendet werden 5 Geraden. Wie viele Dreiecke lassen sich daraus bilden, wenn man die Geraden auf unterschiedliche Weisen anordnet? Gib alle Möglichkeiten an.
  2. Begründe, daß es keine anderen Möglichkeiten gibt.
  3. Betrachtet werden nun n Geraden und jeweils die Maximalzahl der möglichen Dreiecke. Finde eine Berechnungsmöglichkeit für die Maximalzahl der Dreiecke und gib an, wie viele Dreiecke höchstens aus 10 Geraden gebildet werden können. Als Hilfe ist angegeben: aus 6 Geraden lassen sich maximal 20 und aus 7 Geraden maximal 35 Dreiecke bilden.
  4. Beweise die Gültigkeit der Berechnungsmöglichkeit aus Teil c).

2.Aufgabe:

Für welche Primzahl p ist 2p + 1 eine Kubikzahl?

3. Aufgabe:

jk99a.gif (1984 Byte) Die Buchstaben M und T (als Abkürzung für Mathe-Treff) sollen wie in der Zeichnung dargestellt jeweils in ein quadratisches Feld eingezeichnet werden. Beide Buchstaben sollen dabei die gleiche Strichdicke x haben.
  1. Mit welcher Dicke müssen die Buchstaben geschrieben werden, wenn der Buchstabe T genau 36% der Fläche seines Feldes überdecken soll?
  2. Welchen Anteil der Fläche seines Feldes überdeckt dann der Buchstabe M?

4. Aufgabe:

wanne.gif (78020 Byte) Franz Prahlhans muß immer das Neueste haben. Jetzt hat er sich eine Turbo-Badewanne gekauft, die innerhalb von 4 Minuten gefüllt werden kann, wenn der Wasserkran ganz aufgedreht ist. Die Wanne ist aus edelsten Materialien: 400 kg Mamor, Armaturen aus Platin und der Abflußstöpsel ist mit einem Diamanten verziert. Wenn man den Abfluß öffnet, ist die Wanne innerhalb von drei Minuten leer.
Wie lange braucht Franz eigentlich, um die Wanne bei ganz geöffnetem Wasserkran zu füllen, wenn er wieder einmal vergessen hat, den Abfluß zu verschließen?

Team-Wettbewerb 1999