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Team-Wettbewerb 1999

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 1999
Aufgaben für die Klassen 9/10

Die Aufgaben sind für die Klassenstufen 9 und 10.
Einsendeschluss: 14. Juni 1999 - 12:00 Uhr

1. Aufgabe:

In dieser Aufgabe sollen die Dreiecke, die von Geraden in einer Ebene gebildet werden, betrachtet werden.
In der Zeichnung liegen als Beispiel 4 Geraden so, daß sie insgesamt vier Dreiecke bilden.

4ger3.gif (4740 Byte)

Man kann die Geraden aber auch so anordnen, daß sie nur zwei Dreiecke, ein Dreieck oder gar kein Dreieck bilden.

  1. Verwendet werden nun 5 Geraden. Wie viele Dreiecke lassen sich daraus bilden, wenn man die Geraden auf unterschiedliche Weisen anordnet? Gib alle Möglichkeiten an.
  2. Begründe, daß es keine anderen Möglichkeiten gibt.
  3. Betrachtet werden nun n Geraden und jeweils die Maximalzahl der möglichen Dreiecke. Finde eine Berechnungsmöglichkeit für die Maximalzahl der Dreiecke und gib an, wie viele Dreiecke höchstens aus 10 Geraden gebildet werden können. Als Hilfe ist angegeben: aus 6 Geraden lassen sich maximal 20 und aus 7 Geraden maximal 35 Dreiecke bilden.

2.Aufgabe:

Beweise ohne Berechnung des Summenwertes die Ungleichungen:

3. Aufgabe:

Auf die Flächen eines Würfels kann man senkrechte Pyramiden aufsetzen (siehe Bild 1, Bild 2).
Führt man dies mit gleichartigen Pyramiden bei allen Flächen durch, so erhält man in der Regel ein sternförmiges Gebilde (siehe Bild 3).
In einem Fall gehen die Pyramidenflächen ohne Knick in einander über (siehe Bild 4).

Dieser nun entstandene Körper wird Rhombendodekaeder genannt, weil er 12 Rauten (Rhomben) als Begrenzungsflächen hat. Er ist beispielsweise die Kristallform des Granats (siehe Bild 5).
Der Würfel soll nun die Kantenlänge 4 cm haben.

  1. Wie groß muss die Höhe der aufgesetzten Pyramiden sein, damit die Flächen ohne Knick ineinander übergehen?.
  2. Wie lang sind die Seitenkanten des dann entstandenen Rhombendodekaeders?
  3. Wie groß ist dann die Oberfläche dieses Rhombendodekaeders?
  4. Wie groß ist das Volumen dieses Rhombendodekaeders?
    Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Volumen des Ausgangswürfels und dem Volumen dieses Rhombendodekaeders? (Hinweis: die Aufgabe ist ohne Volumenformel lösbar!)
  5. Was kannst du für das Volumen des Rhombendodekaeders feststellen, wenn man die Kantenlänge des Würfels verändert?
rhomb1.jpg (4265 Byte)
Bild 1
rhomb2.jpg (4347 Byte)
Bild 2
rhomb3.jpg (7390 Byte)
Bild 3
rhomb4.jpg (4314 Byte)
Bild 4
rhomb5.jpg (4481 Byte)
Ein Kristall

4. Aufgabe:

wanne.gif (78020 Byte) Franz Prahlhans muß immer das Neueste haben. Jetzt hat er sich eine Turbo-Badewanne gekauft, die innerhalb von 4 Minuten gefüllt werden kann, wenn der Wasserkran ganz aufgedreht ist. Die Wanne ist aus edelsten Materialien: 400 kg Mamor, Armaturen aus Platin und der Abflußstöpsel ist mit einem Diamanten verziert. Wenn man den Abfluß öffnet, ist die Wanne innerhalb von drei Minuten leer.
Wie lange braucht Franz eigentlich, um die Wanne bei ganz geöffnetem Wasserkran zu füllen, wenn er wieder einmal vergessen hat, den Abfluß zu verschließen?

Team-Wettbewerb 1999