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Team-Wettbewerb 1999

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 1999
Lösungen der Aufgaben für die Oberstufe

1. Aufgabe:

  1. siehe Klasse 5/6
  2. siehe Klasse 7/8
  3. siehe Klasse 9/10
  4. Aus 3 Geraden kann höchstens ein Dreieck gebildet werden, aus 4 Geraden höchstens 4 Dreiecke und aus 5 Geraden höchstens 10 Dreiecke. Betrachtet man den Übergang von 3 Geraden zu 4 Geraden, so erkennt man, daß die 4. Gerade mit jedem Paar von Geraden ein neues Dreieck bildet. Aus 3 Geraden kann man 3 Paare bilden, so daß sich die Zahl der möglichen Dreiecke von 1 um 3 auf 4 erhöht. Genau so verläuft der Übergang von 4 Geraden zu 5 Geraden. Aus 4 Geraden lassen sich 6 Paare bilden, also erhöht sich die Zahl der Dreiecke von 4 um 6 auf 10.
    Um nun auf die Zahl der Dreiecke bei 6 Geraden zu kommen, muß die Anzahl der Paare aus 5 Geraden ermittelt werden. Sie beträgt 10.
    Somit sind 20 Dreiecke möglich.Aus 6 Geraden kann man 15 Paare bilden, also lassen sich aus 7 Geraden 35 Dreiecke bilden.
    Allgemein lassen sich aus n Geraden Paare auswählen. Damit lassen sich aus n+1 Geraden höchstens Dreiecke bilden.

2.Aufgabe:

Der Term 2p+1 ist für alle Primzahlen ungerade. Dies bedeutet, dass auch die Basis der Kubikzahl ungerade sein muss. Stellt man die Basis in der Form 2n+1 dar, so erhält man die Bedingung:
( 2n + 1 )³ = 2p + 1
8n³ + 12n² + 6n + 1 = 2p + 1
4n³ + 6n² + 3n = p
n · ( 4n² + 6n + 3 ) = p
Da p nach Voraussetzung eine Primzahl ist, folgt n = 1 und damit p = 13.

3. Aufgabe:

t.gif (813 Byte)
  1. Der Buchstabe T setzt sich aus zwei Rechtecken zusammen. Sein Flächeninhalt beträgt . Das sollen 36% der Gesamtfläche sein, also . Da x nicht größer als a sein kann, ist
m.gif (1233 Byte)
  1. Die vom Buchstaben M überdeckte Fläche besteht aus zwei Rechtecken und zwei Parallelogrammen. Mit den Bezeichnungen der Abbildung läßt sie sich durch ausdrücken. g ist zu bestimmen.
    Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
    Aus den ähnlichen Dreiecken ergibt sich: .
    Beide Gleichungen kombiniert:
    Mit wird die Gleichung zu .
    Da die negative Lösung entfällt, ergibt sich , und die überdeckte Fläche hat den Inhalt (Näherungswert).

4. Aufgabe:

Da das Wasser aus der Wanne schneller heraus- als hineinfließt, wird sie niemals voll werden.

Team-Wettbewerb 1999