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Team-Wettbewerb 1999

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 1999
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 7/8

1. Aufgabe:

  1. siehe Klasse 5/6
  2. Die Höchstzahl an Dreiecken kann dann gebildet werden, wenn es die Höchstzahl an Schnittpunkten zwischen den Geraden gibt, d. h. es dürfen keine Geraden parallel zueinander verlaufen und es darf keinen Schnittpunkt geben, in dem sich drei Geraden schneiden. Das ist der Fall bei 10 Dreiecken. Deshalb können auch nicht mehr als 10 Dreiecke gebildet werden.
    In den dargestellten Beispielen fehlt nur die Bildung von einem Dreieck. Ein Dreieck läßt sich aber mit 5 Geraden nicht bilden, denn 3 Geraden wären für das Dreieck erforderlich. Die vierte Gerade muß so gelegt werden, daß kein neues Dreieck entsteht, d. h. es darf mit den bisherigen Geraden kein neuer Schnittpunkt entstehen. Das geht nur dann, wenn die vierte Gerade durch einen Schnittpunkt zweier Geraden verläuft und zur dritten parallel ist. Nun ist noch die 5. Gerade zu legen. Wenn sie auch so gelegt wird wie die vierte, wird sie aber auf jeden Fall mit dieser einen Schnittpunkt haben.

2.Aufgabe:

Da die fünfte Ziffer das Produkt aus der zweiten und dritten ist und bei diesen drei Ziffern keine mehrfach vorkommen darf, muß versucht werden, die Zahlen von 1 bis 9 so in ein Produkt zu zerlegen, daß die Faktoren und das Produkt alle voneinander verschieden sind.
Das geht nur in zwei Fällen: 2*3=6 bzw. 2*4=8.
Wären die zweite und dritte Ziffer 2 und 4, so könnte das Produkt der ersten vier Ziffern nicht 210 sein,
denn 210 = 2 * 3 * 5 * 7.
Damit sind die ersten vier Ziffern bekannt, ihre Reihenfolge jedoch noch nicht.
Folgende Möglichkeiten gibt es: 5237, 5327, 7235, 7325.

Die richtigen Zahlen müssen einen dreistelligen Teiler haben, da die Ziffer 0 nicht vorkommt.
5237 ist Primzahl, hat also keinen dreistelligen Teiler,
5327 = 7 * 761
7235 = 5 * 1447 und 1447 ist Primzahl, also gibt es auch hier keinen dreistelligen Teiler,
7325 = 5*5*293, der einzige dreistellige Teiler, der sich hier bilden läßt, ist 293, da 5*293 bereits vierstellig ist.

Somit gibt es zwei Lösungen: 53276761, 73256293

3. Aufgabe:

Winkel (BME) = 110° ( 180 – 70 )

Winkel (EMA) = 70° (Stufenwinkel zu W ( CBA))

Winkel (CBA) = 70° (Winkelsumme im Dreieck ( 180 – (20 + 90))

Winkel (DBM) = 35° (Basiswinkel im Dreieck MBD )

Winkel (MDB) = 35° (Basiswinkel im Dreieck MBD )

Winkel (CBD) = 35° (70 – 35 )

Bei der Bestimmung der Winkelmaße nutzt man aus, dass nach Voraussetzung die Dreiecke ABC und AME rechtwinklig sind und das Dreieck BDM gleichschenklig mit der Basis BD ist. Außerdem sind die Seiten ME und BC parallel, da sie beide orthogonal zur Geraden AC sind.

4. Aufgabe:

Da das Wasser aus der Wanne schneller heraus- als hineinfließt, wird sie niemals voll werden.

Team-Wettbewerb 1999