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Team-Wettbewerb 1999

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 1999
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 9/10

1. Aufgabe:

  1. siehe Klasse 5/6
  2. siehe Klasse 7/8
  3. Die Maximalzahlen der Dreiecke werden in einer Tabelle systematisch aufgeschrieben:
Anzahl der Geraden

3

4

5

6

7

Maximalzahl der Dreiecke

1

4

10

20

35

    +3 +6 +10 +15
      +3 +4 +5

betrachtet man die Differenzen aufeinanderfolgender Zahlen, erkennt man, daß diese um 3, 4, 5 usw. größer werden. Dann werden die nächsten Differenzen 15+6=21, 21+7=28 und 28+8=36 lauten. Mit 10 Geraden lassen sich dann 35+21+28+36=120 Dreiecke bilden.

2.Aufgabe:

Ersetzt man jeden der 350 Summanden durch den größten Bruch, nämlich , dann ergibt sich:

und das andere Mal durch den kleinsten Bruch , dann erhält man:

3. Aufgabe:

  1. a/2, hier also 2 cm. Die Seitenflächen bilden einen 45°-Winkel. Dadurch entsteht ein gleichseitig rechtwinkliges Dreieck.
  2. Pythagoras liefert: s = Wurzel(12) = 2*Wurzel(3) = 3,4641...
  3. Pythagoras liefert: s1 = Wurzel (8) = 2*Wurzel(2) = 2,8482...
    O = 24* ½ * 4* 2 Wurzel(2) = 96*Wurzel(2) = 135,7645...
  4. Die sechs Pyramiden können zu einem weiteren Quader zusammengesetzt werden.
    Deshalb hat der Rhombendodekaeder das doppelte Volumen des Würfels.

Diese Überlegung braucht keine Volumenformel.
Dies kann man in Klasse 10 auch mit Hilfe der Volumenformeln berechnen:
V = 43 + 6*43/6 = 128 cm3.

  1. Dies gilt unabhängig von der jeweiligen Kantenlänge und ist beim [in d) schwierigeren Ansatz dafür hier offensichtlich] unabhängig von der Kantenlänge des Würfels.

Für Klasse 10: Beim Rechnen mit der Volumenformel und variabler Kantenlänge a ergibt sich V = a3 + 6*a3/6 = 2a3, das Volumen des Rhombendodekaeders ist doppelt so groß wie das des Würfels.

4. Aufgabe:

Da das Wasser aus der Wanne schneller heraus- als hineinfließt, wird sie niemals voll werden.

Team-Wettbewerb 1999