brlogo
untitled
   
   
   
 

Team-Wettbewerb 2000 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 9/10

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2000
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 9/10

1. Aufgabe:

  1. Das Quadrat besteht aus 64 Feldern, das Rechteck aus 65 Feldern. Da kein Feld durch das Zerschneiden und Zusammenlegen hinzugekommen sein kann, muss Peter einen Fehler gemacht haben.
  2. Wenn man die Teile ausschneidet, stellt man fest, daß der Winkel links oben bei dem lila Dreieck etwa 20,5° beträgt. Der Winkel des grünen Vierecks in dieser Ecke beträgt 68°. Deshalb ergeben beide zusammen keinen rechten Winkel und beim Zusammenlegen entsteht gar kein Rechteck.
  3. Vom Mittelpunkt M der Seite CD aus muss zu den gegenüberliegenden Eckpunkten A und B geschnitten werden. Die beiden abgeschnittenen kleinen Dreiecke müssen an der Seite AB so angelegt werden, dass C und D mit dem Mittelpunkt der Seite AB zusammenfallen.
    jkl-1.gif (1755 Byte)
  4. Das Ausgangsrechteck hat einen Flächeninhalt von 144 cm². Deshalb muss das Quadrat eine Seitenlänge von 12 cm haben. Man muss also von A aus so schneiden, dass die Länge von AE = 12 cm ist. F muss auf der Strecke AE so liegen, dass bei F ein rechter Winkel entsteht. Das abgeschnittenen Dreieck AED wird an der Kante BC und das Dreieck ABF an der Kante DC angelegt.
    jkl-2.gif (2221 Byte)
  5. Die abgeschnittenen Dreiecke AMD bzw. MBC sind gleichschenklig. Deshalb haben sie außer dem rechten Winkel bei A bzw. B noch jeweils zwei 45°-Winkel.
    Das Dreieck ABM ist ebenfalls gleichschenklig, da die Strecken AM und BM gleich lang sind. Es hat bei M einen rechten Winkel. Deshalb hat es bei A bzw. B jeweils einen 45°- Winkel. Durch das Zusammenlegen ergeben sich also lauter rechte Winkel. Da die Länge von DM gleich der Länge von CM ist, entsteht sogar ein Quadrat.
    jkl-3.gif (1656 Byte)
  6. Die Dreiecke AED und ABF sind zueinander ähnlich, da sie jeweils einen rechten Winkel enthalten und b =Winkel(AED)=90°-Winkel(DAE)
    = 90° - a
    und
    Winkel(FAB) = 90°- Winkel(DAE),
    also
    Winkel(FAB) = Winkel(AED) = b .
    Deshalb gilt BF/AB = AD/AE,
    also BF = 9 * 16 / 12 = 12 = AE.
    Wird nun AD an BC angelegt, entsteht bei B ein rechter Winkel, da . Nach Konstruktion ist außerdem bei F ein rechter Winkel. Der Winkel BFA, der nach dem Zusammenlegen ein Winkel des Vierecks wird, ist ebenfalls ein rechter Winkel. Damit ist das Viereck ein Rechteck. Da außerdem die Längen von BF und AE gleich sind, handelt es sich sogar um ein Quadrat.
    jkl-4.gif (1984 Byte)

2.Aufgabe:

In einer Folge Rationaler Zahlen ist jede Zahl, außer den beiden ersten, gleich der Summe der beiden Vorgängerzahlen.
Wenn die erste Zahl 3 ist und die 10. Zahl ist 2000, wie groß ist dann die 2. Zahl der Folge? Erkläre und beschreibe die Zahl genau!
Die gewählten Zahlen ergeben die dargestellte Folge:

3; x; x+3; 2x+3; 3x+6; 5x+9; 8x+15;13x+24;21x+39;34x+63

Aus dem 10. Folgeglied lässt sich also folgende Gleichung ableiten und lösen:


3. Aufgabe:

  1. 31 ergibt sich auf dem Weg: 5 - 2 - 6 - 4 - 6 - 8
  2. Es gibt drei weitere Möglichkeiten:
    37 : 5 - 2 - 4 - 6 - 2 - 4 - 6 - 8
    61 : 5 - 2 - 4 - 2 - 4 - 6 - 8- 6- 4 - 6- 6 - 8
    97 : 5 - 2 - 4- 2 - 4 - 6 - 8 - 6 - 4 - 2 - 4 - 6 - 8 - 6 - 4 - 2 - 6 - 4 - 6 - 8

4. Aufgabe:

Der Friseur in dem sauberen Laden hatte den besseren Haarschnitt. Da es in der Stadt nur 2 Friseure gibt, läßt er sich die Haare von dem Friseur mit dem altertümlichen Laden schneiden.

Team-Wettbewerb 2000 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 9/10