brlogo
untitled
   
   
   
 

Team-Wettbewerb 2001 rarrow.gif (91 Byte) Aufgaben Oberstufe

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2001
Aufgaben für die Oberstufe

Die Aufgaben sind für die Oberstufe..
Einsendeschluss: 2. Juli 2001 - 12:00 Uhr

1. Aufgabe (Quadrate):

Die Abbildung zeigt ein großes Quadrat, das in 9 kleine Quadrate zerlegt ist.

  1. In wie viele Quadrate kann das große Quadrat sonst noch zerlegt werden?
    Findet ihr auch eine Zerlegung in 13 Teilquadrate oder in 17?
    Findet für möglichst viele verschiedene Anzahlen von Teilquadraten zwischen 2 und 20 jeweils eine Zerlegung.
  2. Gibt es auch eine Zerlegung in 96 Teilquadrate? Beschreibt, wie man eine solche Zerlegung erhalten kann.
  3. Welche Anzahlen von Teilquadraten sind möglich? Begründet, warum die von Euch genannten Anzahlen möglich sind.
  4. Ihr habt inzwischen festgestellt, dass einige Anzahlen von Teilquadraten nicht möglich sind. Begründet für jede dieser Zahlen, dass es dazu keine Zerlegung gibt.

2. Aufgabe (Vier Kugeln):

Vier Kugeln liegen auf einem Tisch. Jede Kugel berührt die drei übrigen Kugeln. Drei Kugeln haben den gleichen Radius .

Bestimme den Radius der vierten Kugel!

3. Aufgabe (Die Abenteuer von Tangens und Cosina) :

Nachdem der Ritter Tangens mit der Prinzessin Cosina im vergangenen Jahr von der Insel des Fürsten Algo von Ritmus entkommen konnte, sind die beiden durch einen ungünstigen Wind zur Insel der Schwester von Algo, der Herzogin Loga von Ritmus, getrieben worden. Loga ist genau so hinterhältig und grausam wie ihr Bruder und hat Tangens und Cosina in einen tiefen Kerker gesperrt. Eines Tages läßt sie die beiden kommen. "Ich gebe Euch die Freiheit, wenn Ihr Zahlenketten für mich baut. Alle meine Zahlenketten habe ich verloren, und womit soll ich mich schmücken, wenn ich in der nächsten Woche das große Fest derer von Ritmus gebe?" sagt sie zu Tangens.

"Aber Herzogin, ich habe keine Ahnung, wie man Zahlenketten baut," erwidert Tangens mit trauriger Stimme.

"Ich habe ein Rezept, leider haben die Ratten und Mäuse in meinem Keller daran geknabbert, so dass nicht mehr alles zu lesen ist." Mit diesen Worten holt die Herzogin eine alte, wirklich schon sehr zerfressene Urkunde hervor. "Macht Euch also an die Arbeit. Aber wenn Ihr es nicht schafft, kommt Ihr in den Keller zu den Ratten und Mäusen!" befiehlt die grausame Herrscherin.

Voller Eifer machen sich Tangens und Cosina an die Arbeit, aber es gelingt ihnen nicht, die fehlenden Teile der Urkunde zu ergänzen. Von Tag zu Tag sind die beiden verzweifelter. Da kommt plötzlich die gute Fee Cinderella vorbei. "Vielleicht kann ich Euch helfen," sagt sie. "Ich habe noch eine einzige Zahlenkette, die nach dem alten Rezept gebaut ist. Sie beginnt mit der zahl 27. Vielleicht schafft Ihr es damit, das Problem zu lösen."

  1. Schreibe das Rezept zum Bau von Zahlenketten auf.
  2. Baue die Zahlenkette, die mit der Zahl 11 beginnt.
  3. Schreibe alle Zahlenketten mit der Länge 7 auf.
  4. Bei den Zahlenketten, die mit 2 oder mit 4 oder mit 8 beginnen, kann man leicht eine Formel zur Berechnung ihrer Länge finden. Wie lautet diese Formel? Für welche anderen Startzahlen ist sie auch gültig?
  5. Begründe die Gültigkeit der Formel.
  6. Für die Länge der Ketten, die mit 3 oder 5 oder 9 beginnen, gibt es ebenfalls eine einfache Formel. Wie lautet sie? Für welche anderen Startzahlen ist sie auch gültig? Beweise die Formel.
  7. Suche ebenfalls eine Formel für die Startzahlen 7, 15, 31 usw. und beweise ihre Gültigkeit.
  8. Begründe, dass Du in Teil c) wirklich alle Zahlenketten der Länge 7 gefunden hast.

 

4. Aufgabe (Die verarmten Millionäre):

Die verarmten Millionäre

Mit der Einführung des Euro zu Beginn des nächsten Jahres geht es den Millionären schlecht. Was bleibt ihnen von ihrer schönen Million? Einige lächerliche Euro.

Auch die Rheinische Post hat sich im nebenstehenden Artikel diesem wichtigen Thema angenommen.

Im Jahre 1995 gab es nach Auskunft des Amtes für Statistik in Düsseldorf 432 Millionäre. Aktuellere Daten konnten wir leider nicht recherchieren. Deshalb soll der Einfachheit halber angenommen werden, dass sich die Zahl der Millionäre in Düsseldorf seit 1995 nicht verändert hat.

Wie viele Millionäre wird es denn unter diesen Voraussetzungen nach der Euro-Umstellung, also im nächsten Jahr, geben?

Ach ja, zur Information: 1 Euro = 1,95583 DM

Team-Wettbewerb 2001 rarrow.gif (91 Byte) Aufgaben Oberstufe