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Team-Wettbewerb 2001 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 5/6

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2001
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 5/6

1. Aufgabe:

Eine Zerlegung in 4 Teilquadrate ist möglich, von 6 an sind alle Anzahlen von Teilquadraten zu erhalten. Die Abbildung zeigt für jede Anzahl eine Möglichkeit. Für manche Anzahlen gibt es auch noch andere Möglichkeiten.

2. Aufgabe:

Wenn sich die Anzahl der Ecken bei gleicher Anzahl der Kanten reduziert, müssen die Seitenflächen des neuen Körpers die Form von Dreiecken annehmen. Diese sollten alle die gleiche Form haben, ja sogar deckungsgleich sein.
Um Dreiecksflächen aber unter den genannten Bedingungen zusammenfügen zu können, muss man sie zu einer Pyramide formen.
Der gesuchte Körper muss mithin eine doppelte quadratische ( wegen der gleichen Längen der Kanten) Pyramide sein. Das ist aber ein Oktaeder.

Ein zweiter Lösungsansatz gilt denen, die den Polyedersatz des Euler kennen.
Dieser besagt, dass bei Körpern folgendes gilt:

E+F = K+2

In Worten: Die Summe der Ecken und Flächen ist gleich der Anzahl der Kanten vermehrt um 2.
Für den Würfel gilt: 8+6 = 12+2
Reduziert sich nun durch die Aufgabenstellung die Anzahl der Ecken auf 6, so muss folglich die Anzahl der Flächen auf 8 wachsen. Es ergibt sich auch hier ein Oktaeder.

3. Aufgabe:

a)

b) 11 – 12 – 6 – 3 – 4 – 2 – 1

c) Es gibt insgesamt 8 Zahlenketten der Länge 7:

10 – 5 – 6 – 3 – 4 – 2 – 1

11 – 12 – 6 – 3 – 4 – 2 – 1

13 – 14 – 7 – 8 – 4 – 2 – 1

24 – 12 – 6 – 3 – 4 – 2 – 1

28 – 14 – 7 – 8 – 4 – 2 – 1

30 – 15 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

31 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

64 – 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1

Das kann durch Ausprobieren herausgefunden werden.

4. Aufgabe:

Die gestellte Frage ist mit den Angaben in der Aufgabe nicht zu beantworten. Alle Personen, die ein Vermögen zwischen 1.000.000 DM und etwa 2.000.000 DM haben, werden nach der Umstellung nicht mehr zum Kreis der Millionäre gehören. Alle, die mehr als etwa 2.000.000 DM haben, bleiben Millionäre. Daher kann aus dem Umrechnungskurs die Zahl nicht ermittelt werden.

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