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Team-Wettbewerb 2002 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 5/6

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2002
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 5/6

1. Aufgabe:

L = linker Fuß R = rechter Fuß S = überspringen

Stufen

Monika

Sabine

Funny

1

L

L

L

2

R

S

S

3

L

R

S

4

R

S

R

5

L

L

S

6

R

S

S

7

L

R

L

8

R

S

S

9

L

L

S

10

R

S

R

11

L

R

S

12

R

S

S

13

L

L

L

a) Stufe 7

b) Monika: Stufe 2 Sabine: Stufe 3 Funny: Stufe: 4

c) Stufe 13

d) Monika betritt immer eine gerade Stufe mit dem rechten Fuß und Sabine immer eine ungerade Stufe mit dem rechten Fuß, also können sie nie mit dem rechten Fuß die gleiche Stufe betreten.

e) Das Problem reduziert sich auf eine Fibonacci-Folge.
Somit hat Fritz 21 Möglichkeiten, die 8 Stufen zu bezwingen.
Folgende Erklärung mag helfen:
Wenn die Treppe nur 1 Stufe hat, gibt es nur eine Möglichkeit, denn er springt immer auf die erste Stufe.
Auch bei 2 Stufen gibt es nur eine Möglichkeit, denn mit dem zweiten Schritt hat er die Treppe hinter sich.
Wie ist nun eine Treppe von n Stufen zu bewältigen:
Der Anfang ist klar:
f(1) = 1; f(2) = 1;

Nehmen wir an, wir wüssten, auf wie viele Weisen Fritz Treppen bis 5 Stufen bewältigen kann, uns ist also f(5), f(4), f(3) ... bekannt für eine Sechsertreppe hat er nun wieder 2 Möglichkeiten: Er nimmt eine Stufe oder 2 Stufen, kommt also von der 4. oder der 5. Stufe.
Die 4. Stufe hat er auf f(4) , die 5. auf f(5) Weisen erreicht. Er nimmt die Sechsertreppe also auf f4) + f(5) Weisen, oder

f(n+1) = f(n)+ f(n-1)

Die Lösung des Problems lässt sich nun rekursiv finden:

f(1) = 1; f(4) = 3; f(7) = 13;
f(2) = 1; f(5) = 5; f(8) = 21;
f(3) = 2; f(6) = 8;

Es gibt also 21 Möglichkeiten, die Treppe in seinem Sinne hochzusteigen.

2. Aufgabe:

In jeder Spalte ist die 3. Zahl die Differenz der beiden ersten.

Die 4. Zahl ist das Produkt der 2. und 3. Zahl.

A = 15, B = 9, C = 6, D = 3, E = 3, F = 5, G = 7, H = 27, I = 56

Da die Lösungen für die Buchstaben D und F vertauscht werden können ist auch dies eine Lösung:
A = 15, B = 9, C = 6, D = 5, E = 3, F = 3, G = 7, H = 27, I = 56

3. Aufgabe:

Der Wurm kann diesen Weg nicht gehen.
Angenommen, der Würfel besteht aus zwei Mengen unterschiedlich gefärbter Würfelchen, die abwechselnd nebeneinander liegen. Seien die Eckwürfel rot, dann ist der Würfel im Zentrum blau.

Der Weg des Wurmes lässt sich nun folgendermaßen beschreiben:
1. Schritt: rot – blau
2. Schritt: blau – rot
3. Schritt: rot – blau
4. Schritt: blau – rot
5. Schritt: rot – blau
...........
342. Schritt: blau – rot

Da der innere Würfel aber blau ist, kann es diesen Weg nicht geben.

4. Aufgabe:

a) Kapitän und Bootsmann schauen sich gegenseitig an.

b) In Euro, denn die Koordinaten liegen auf dem Rhein vor der Bezirksregierung Düsseldorf.

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