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Team-Wettbewerb 2002 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 7/8

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2002
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 7/8

1. Aufgabe:

L = linker Fuß R = rechter Fuß S = überspringen

Stufen

Monika

Sabine

Funny

1

L

L

L

2

R

S

S

3

L

R

S

4

R

S

R

5

L

L

S

6

R

S

S

7

L

R

L

8

R

S

S

9

L

L

S

10

R

S

R

11

L

R

S

12

R

S

S

13

L

L

L

a) Stufe 7

b) Monika: Stufe 2 Sabine: Stufe 3 Funny: Stufe: 4

c) Stufe 13

d) Monika betritt immer eine gerade Stufe mit dem rechten Fuß und Sabine immer eine ungerade Stufe mit dem rechten Fuß, also können sie nie mit dem rechten Fuß die gleiche Stufe betreten.

e) Das Problem reduziert sich auf eine Fibonacci-Folge.
Somit hat Fritz 21 Möglichkeiten, die 8 Stufen zu bezwingen.
Folgende Erklärung mag helfen:
Wenn die Treppe nur 1 Stufe hat, gibt es nur eine Möglichkeit, denn er springt immer auf die erste Stufe.
Auch bei 2 Stufen gibt es nur eine Möglichkeit, denn mit dem zweiten Schritt hat er die Treppe hinter sich.
Wie ist nun eine Treppe von n Stufen zu bewältigen:
Der Anfang ist klar:
f(1) = 1; f(2) = 1;

Nehmen wir an, wir wüssten, auf wie viele Weisen Fritz Treppen bis 5 Stufen bewältigen kann, uns ist also f(5), f(4), f(3) ... bekannt für eine Sechsertreppe hat er nun wieder 2 Möglichkeiten: Er nimmt eine Stufe oder 2 Stufen, kommt also von der 4. oder der 5. Stufe.
Die 4. Stufe hat er auf f(4) , die 5. auf f(5) Weisen erreicht. Er nimmt die Sechsertreppe also auf f4) + f(5) Weisen, oder

f(n+1) = f(n)+ f(n-1)

Die Lösung des Problems lässt sich nun rekursiv finden:

f(1) = 1; f(4) = 3; f(7) = 13;
f(2) = 1; f(5) = 5; f(8) = 21;
f(3) = 2; f(6) = 8;

Es gibt also 21 Möglichkeiten, die Treppe in seinem Sinne hochzusteigen.

f) Das Problem reduziert sich auf eine Fibonacci-Folge.
Somit hat Fritz 46 368 Möglichkeiten, die 24 Stufen zu bezwingen.
Folgende Erklärung mag helfen:
Wenn die Treppe nur 1 Stufe hat, gibt es nur eine Möglichkeit, denn er springt immer auf die erste Stufe.
Auch bei 2 Stufen gibt es nur eine Möglichkeit, denn mit dem zweiten Schritt hat er die Treppe hinter sich.
Wie ist nun eine Treppe von n Stufen zu bewältigen:
Der Anfang ist klar:
f(1) = 1; f(2) = 1;
Nehmen wir an, wir wüssten, auf wie viele Weisen Fritz Treppen bis 10 Stufen bewältigen kann, uns ist also f(10, f(9), f(8) ... bekannt. Für eine Elfertreppe hat er nun wieder 2 Möglichkeiten: Er nimmt eine Stufe oder 2 Stufen, kommt also von der 9. oder der 10. Stufe.
Die 9. Stufe hat er auf f(9) , die 10. auf f(10) Weisen erreicht. Er nimmt die Elfertreppe also auf f(9) + f(10) Weisen, oder

f(n+1) = f(n)+ f(n-1)
Die Lösung des Problems lässt sich nun rekursiv finden:

f(1) = 1; f(4) = 3; f(7) = 13; f(10) = 55; f(13) = 233; f(16) = 987; f(19) = 4181; f(22) = 17711;
f(2) = 1; f(5) = 5; f(8) = 21; f(11) = 89; f(14) = 377; f(17) = 1597; f(20) = 6765; f(23) =28657;
f(3) = 2; f(6) = 8; f(9) = 34; f(12) = 144; f(15) = 610; f(18) = 2584; f(21) = 10946; f(24) = 46368;

2. Aufgabe:

In jeder Spalte ist die 3. Zahl die Differenz der beiden ersten.

Die 4. Zahl ist das Produkt der 2. und 3. Zahl.

A = 15, B = 9, C = 6, D = 3, E = 3, F = 5, G = 7, H = 27, I = 56

Da die Lösungen für die Buchstaben D und F vertauscht werden können ist auch dies eine Lösung:
A = 15, B = 9, C = 6, D = 5, E = 3, F = 3, G = 7, H = 27, I = 56

3. Aufgabe:

x sei die Anzahl der benötigten erfolgreichen Würfe



Der Spieler benötigt also mindestens 10 erfolgreiche Würfe, um seine Trefferquote auf 90% zu erhöhen.

4. Aufgabe:

a) Kapitän und Bootsmann schauen sich gegenseitig an.

b) In Euro, denn die Koordinaten liegen auf dem Rhein vor der Bezirksregierung Düsseldorf.

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