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Team-Wettbewerb 2002 rarrow.gif (91 Byte) Lösung Oberstufe

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2002
Lösungen der Aufgaben für die Oberstufe

1. Aufgabe:

L = linker Fuß R = rechter Fuß S = überspringen

Stufen

Monika

Sabine

Funny

1

L

L

L

2

R

S

S

3

L

R

S

4

R

S

R

5

L

L

S

6

R

S

S

7

L

R

L

8

R

S

S

9

L

L

S

10

R

S

R

11

L

R

S

12

R

S

S

13

L

L

L

a) Stufe 7

b) Monika: Stufe 2 Sabine: Stufe 3 Funny: Stufe: 4

c) Stufe 13

d) Monika betritt immer eine gerade Stufe mit dem rechten Fuß und Sabine immer eine ungerade Stufe mit dem rechten Fuß, also können sie nie mit dem rechten Fuß die gleiche Stufe betreten.

e) Das Problem reduziert sich auf eine Fibonacci-Folge.
Somit hat Fritz 21 Möglichkeiten, die 8 Stufen zu bezwingen.
Folgende Erklärung mag helfen:
Wenn die Treppe nur 1 Stufe hat, gibt es nur eine Möglichkeit, denn er springt immer auf die erste Stufe.
Auch bei 2 Stufen gibt es nur eine Möglichkeit, denn mit dem zweiten Schritt hat er die Treppe hinter sich.
Wie ist nun eine Treppe von n Stufen zu bewältigen:
Der Anfang ist klar:
f(1) = 1; f(2) = 1;

Nehmen wir an, wir wüssten, auf wie viele Weisen Fritz Treppen bis 5 Stufen bewältigen kann, uns ist also f(5), f(4), f(3) ... bekannt für eine Sechsertreppe hat er nun wieder 2 Möglichkeiten: Er nimmt eine Stufe oder 2 Stufen, kommt also von der 4. oder der 5. Stufe.
Die 4. Stufe hat er auf f(4) , die 5. auf f(5) Weisen erreicht. Er nimmt die Sechsertreppe also auf f4) + f(5) Weisen, oder

f(n+1) = f(n)+ f(n-1)

Die Lösung des Problems lässt sich nun rekursiv finden:

f(1) = 1; f(4) = 3; f(7) = 13;
f(2) = 1; f(5) = 5; f(8) = 21;
f(3) = 2; f(6) = 8;

Es gibt also 21 Möglichkeiten, die Treppe in seinem Sinne hochzusteigen.

f) Das Problem reduziert sich auf eine Fibonacci-Folge.
Somit hat Fritz 46 368 Möglichkeiten, die 24 Stufen zu bezwingen.
Folgende Erklärung mag helfen:
Wenn die Treppe nur 1 Stufe hat, gibt es nur eine Möglichkeit, denn er springt immer auf die erste Stufe.
Auch bei 2 Stufen gibt es nur eine Möglichkeit, denn mit dem zweiten Schritt hat er die Treppe hinter sich.
Wie ist nun eine Treppe von n Stufen zu bewältigen:
Der Anfang ist klar:
f(1) = 1; f(2) = 1;
Nehmen wir an, wir wüssten, auf wie viele Weisen Fritz Treppen bis 10 Stufen bewältigen kann, uns ist also f(10, f(9), f(8) ... bekannt. Für eine Elfertreppe hat er nun wieder 2 Möglichkeiten: Er nimmt eine Stufe oder 2 Stufen, kommt also von der 9. oder der 10. Stufe.
Die 9. Stufe hat er auf f(9) , die 10. auf f(10) Weisen erreicht. Er nimmt die Elfertreppe also auf f(9) + f(10) Weisen, oder

f(n+1) = f(n)+ f(n-1)
Die Lösung des Problems lässt sich nun rekursiv finden:

f(1) = 1; f(4) = 3; f(7) = 13; f(10) = 55; f(13) = 233; f(16) = 987; f(19) = 4181; f(22) = 17711;
f(2) = 1; f(5) = 5; f(8) = 21; f(11) = 89; f(14) = 377; f(17) = 1597; f(20) = 6765; f(23) =28657;
f(3) = 2; f(6) = 8; f(9) = 34; f(12) = 144; f(15) = 610; f(18) = 2584; f(21) = 10946; f(24) = 46368;

g)

Fritz kann eine, zwei oder drei Stufen auf einmal nehmen.. Zur 24. Stufe gelangt er also in einem Schritt von der 21., 22. oder 23. Stufe. Wir brauchen also nur zu wissen, wieviel Möglichkeiten er hat, um zu diesen Stufen zu kommen.

Fangen wir also klein an:

Anzahl "n" der Treppenstufen

Anzahl der Schritte

Schrittlänge (in Stufenanzahl)

Möglichkeiten Kombination Anzahl

Entwicklung (nachträglich)

1

1

1

 

1

g(1)=1

2

1

1

 

1

g(2)=1

 

3

3

1

1+1+1

 

2

g(3)=2

2

1 und 2

1+2

 

 

 

4

4

1

1+1+1+1

 

 

 

4

 

 

g(4)=4=

g(3)+g(2)+g(1)

3

1 und 2

1+1+2

3

1 und 2

1+2+1

2

1 und 3

1+3

 

 

 

 

 

 

5

5

1

1+1+1+1+1

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

g(5)=7=

g(4)+g(3)+g(2)

4

1 und 2

1+1+1+2

4

1 und 2

1+1+2+1

4

1 und 2

1+2+1+1

3

1 und 2

1+2+2

3

1 und 3

1+1+3

3

1 und 3

1+3+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

6

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

g(6)=13=

g(5)+g(4)+g(3)

5

1 und 2

 

5

1 und 2

 

5

1 und 2

 

5

1 und 2

 

4

1 und 2

 

4

1 und 2

 

4

1 und 2

 

4

1 und 3

 

4

1 und 3

 

4

1 und 3

 

3

1 und 2 und 3

 

3

1 und 2 und 3

 

7

     

44

g(7)= 44=

g(6)+g(5)+g(4)

8

     

 

64

g(8)=

g(7)+g(6)+g(5)

Es wird klar, dass das Prinzip für alle Stufen ab n=4 gilt – wir (oder Fritz) müssen nur die Anfangszahlen g(1)=1, g(2)=1 und g(3)=2 kennen. Folglich ergibt sich:

g(1)=1, g(2)=1 g(3)=2 g(4)=4 g(5)= 7 g(6)=13 g(7)=24

g(8)=44, g(9)=81 g(10)=149 g(11)=274 g(12)=504 g(13)=927 g(14)=1705

g(15)=3 136 g(16)=5 768 g(17)=10 609 g(18)=19 513 g(19)=35 890 g(20)=66 012

g(21)=121 415 g(22)=223 317 g(23)=410 744 g(24)=755 476

Fritz könnte also auf 755 476 verschiedene Arten unter den genannten Bedingungen über die 24 Stufen zum Chemiesaal gelangen.

h) 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ist der Anfang einer Folge von Fibonacci-Zahlen.
Rekursiv aufgeschrieben lassen sich die Folgeglieder f(n) so bilden
f(n+2) = f(n+1) +f(n) für mit f(1) = 1 und f(2) = 1.

Aus dieser Gleichung gewinnen wir durch Division durch f(n+1); wir erhalten eine Gleichung mit Verhältnissen, die auf einen Grenzwert F zulaufen:
.

f(n+2)

2

3

5

8

13

21

34

55

...

...

f(n+2): f(n+1)

2

1,5

1,66..

1,6

1,625

...

...

...

...

...

Nahe bei F gilt etwa

Der negative Teil entfällt für den Grenzwert, nicht aber für den expliziten Termaufbau der Folge

.

2. Aufgabe:

In jeder Spalte ist die 3. Zahl die Differenz der beiden ersten.

Die 4. Zahl ist das Produkt der 2. und 3. Zahl.

A = 15, B = 9, C = 6, D = 3, E = 3, F = 5, G = 7, H = 27, I = 56

Da die Lösungen für die Buchstaben D und F vertauscht werden können ist auch dies eine Lösung:
A = 15, B = 9, C = 6, D = 5, E = 3, F = 3, G = 7, H = 27, I = 56

3. Aufgabe:

Zunächst scheint es unendlich viele Lösungstripel zu geben. Das trifft aber nur auf reelle Lösungen zu. Für ganzzahlige, natürliche Tripel gibt es nur endlich viele Lösungen, wobei es 2 Lösungstypen gibt:

Typ 1: 
2002 ist die größte der drei Zahlen.



Es gibt nur eine Lösung!

Typ 2: 
2002 ist eine der beiden kleineren Zahlen.



Die Lösungen lassen sich nun über Primfaktorzerlegung und Reduzierung auf kleinere, bekannte Pythagoreische Zahlentripel mit teilerfremden Zahlen herleiten.
Der einfachere Weg führt über eine Excel Tabelle mit viel Geduld oder über ein selbstgeschriebenes Programm mit Basic, Delphi, ...

Anzahl aller Werte für x mit x2 + 20022 < 20040012

336 ; 936 ; 1320 ; 5760 ; 6864 ; 8160 ; 10920 ; 12936 ; 20400 ; 77064 ; 91080 ; 143136 ; 1002000 ;

4. Aufgabe:

a) Kapitän und Bootsmann schauen sich gegenseitig an.

b) In Euro, denn die Koordinaten liegen auf dem Rhein vor der Bezirksregierung Düsseldorf.

Team-Wettbewerb 2002 rarrow.gif (91 Byte) Lösung Oberstufe