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Team-Wettbewerb 2003 rarrow.gif (91 Byte) Aufgaben Oberstufe

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2003
Aufgaben für die Oberstufe

Die Aufgaben sind für die Oberstufe..
Einsendeschluss: 28. Juli 2003 - 12:00 Uhr

1. Aufgabe (Boule):

Eine Gruppe von Boulespielern trifft sich nachmittags am Düsseldorfer Rheinufer. Jeder von ihnen hat 6 Kugeln mitgebracht, die sie durch verschiedene Farben gekennzeichnet haben. Die 6 Spieler legen ihre Kugeln in Form eines Quadrates auf das Spielfeld (siehe Zeichnung).
Nun sollen von jedem Spieler 2 Kugeln aus dem Quadrat zum Spielen benutzt werden. Hierbei dürfen aber aus jeder Reihe, Spalte und allen möglichen Schräglinien nur jeweils 2 Kugeln entfernt werden.
  1. Folgende Fragen ergeben sich daraus:
    Welches ist die kleinste Anzahl von Kugeln, die nun noch auf dem Spielfeld liegt?
    Welche Kugeln dürfen entfernt werden, damit die Bedingungen erfüllt sind? Dies können Sie entweder beschreiben oder als Zeichnung beifügen.

Einige Boule-Spieler haben die Absicht ins "Guiness-Buch der Rekorde" aufgenommen zu werden. Ihre Idee einer regionalen Aktion: Es sollen möglichst viele, gleich große Boule-Kugeln auf einem Fußballplatz zu einer geometrischen Figur dicht zusammengelegt werden. Teilnehmen kann jeder, der mindestens eine dieser 700g-Metallkugeln mit etwa 23cm großem Umfang mitbringt; die Kugel(n) sollen mit einem Namensschild gekennzeichnet werden; die Veranstalter versehen sie mit einer fortlaufenden Nummer und markieren ihre Position in einem Plan. Es ist zunächst beabsichtigt, die Kugeln zunächst in Form eines ausgefüllten "Dreiecks" auf den Rasen –die erste Reihe von Kugeln an der Spielfeldbegrenzung- zu legen; die Kugeln sollen möglichst dicht liegen; begonnen wird an einer Randlinie mit einer Kugel, danach folgen zwei, dann drei; so dass die sich Spitze des "gleichseitigen Dreiecks" langsam von der Grundlinie entfernt und auf die gegenüberliegende Spielfeldbegrenzung zustrebt.

  1. Annahme: Es kann eine möglichst dichte "Dreiecksfläche" mit allen Kugeln gebildet werden. Wie viele Spieler müssten sich beteiligt haben, wenn jeder 4 (5 / 6) Kugeln mitbrachte? Geben Sie die acht kleinsten der möglichen Anzahlen von Spielern und die dazu passende Anzahl von Kugeln an.
  2. Schätzen Sie -begründet-, wie viele dieser Kugeln an den Rändern des Strafraumes eines Fußballfeldes in einer Reihe nebeneinandergelegt werden können.
  3. Schätzen Sie ebenso die für eine größte "Dreieckfläche" auf dem ganzen Fußballplatz erforderliche Anzahl von Kugeln.
  4. Entwickeln Sie einen Term zur Beschreibung der Anzahl von Kugeln in einer dicht belegten "Dreiecksfläche", der die Anzahl n der verwendeten Kugeln enthält.
  5. Die Organisatoren stellen fest: Es gibt eine Anzahl von Kugeln, die sowohl zu einer ausgefüllten "Dreiecksfläche" als auch zu einer dicht belegten "Rautenfläche" zusammengelegt werden können. Finden Sie eine solche Anzahl und möglichst auch eine weitere Anzahl mit gleichen Eigenschaften.
  6. Den Initiatoren ist folgendes aufgefallen: Mit den Kugeln aus einer dicht belegten "Dreiecksfläche" mit sechs Kugeln und denen aus einer solchen mit drei Kugeln kann eine ausgefüllte "Rautenfläche" aus neun Kugeln gelegt werden. Verallgemeinern Sie diesen Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Dreiecks- und Rautenkugeln.
  7. Wenn auf dem Spielfeld aus den Kugeln eine oben beschriebene "Rautenfläche" so positioniert werden könnte, dass die Kugeln in den Ecken auf Endpunkten der Mittellinie bzw. auf den Torlinien liegen, müssen die Längen der Spielfeldbegrenzungen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen; berechnen Sie diesen Quotienten.

2. Aufgabe (Fermat-Zahlen):

Die Zahlen 22n+1

heißen "Fermat-Zahlen". Sie sind nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat benannt.

  1. Berechnen Sie F(0), F(1), F(2), F(3), F(4) und weisen nach, dass es Primzahlen sind.
  2. L. Euler hat gezeigt, dass 641 ein Teiler von F(5) ist. Führen Sie ebenfalls diesen Nachweis!
  3. Was können Sie über die letzte Ziffer von F(n) für n>1 aussagen? Beweisen Sie die Vermutung.
  4. Kann eine Fermatzahl auch Quadratzahl sein?
  5. Berechnen Sie:
    1. F(0) · F(1)
    2. F(0) · F(1) · F(2)
    3. F(0) · F(1) · F(2) · F(3)
    4. F(0) · F(1) · F(2) · F(3) · F(4)
    5. ........

      erkennen Sie eine allgemeine Formel?

    6. F(0) · F(1) · F(2) · F(3) · ... · F(n-1)

  6. Zeigen Sie mit Hilfe von Teil e) dass jede "Fermat - Zahl" zu den vorhergehenden teilerfremd ist.
    Zeigen Sie ferner, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

3. Aufgabe (Vier Dörfer):

Vier Dörfer bilden die Eckpunkte eines Quadrates mit der Seitenlänge 4 km.

  1. Untersuchen Sie, ob es möglich ist, diese Dörfer durch ein geradliniges
    Straßennetz mit einer Gesamtlänge von weniger als 11 km zu verbinden.
  2. Versuchen Sie, ein möglichst kurzes Straßennetz zu finden.

 4. Aufgabe (Fahrradkette):

Fabian, Nicole und Michael stehen vor folgendem Problem: Sie haben ein altes Fahrrad gemeinsam bunt angemalt. Um es abzuschließen, damit ihr Kunstwerk nicht gestohlen wird, besitzen sie nur eine Kette und jeder von ihnen ein Schloss mit jeweils einem Schlüssel. Wie können sie nun das Fahrrad an die Kette legen, damit aber jedes Kind es auch alleine benutzen kann?

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