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Team-Wettbewerb 2003 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 7/8

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2003
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 7/8

1. Aufgabe (Boule):

  1. Da in jeder Reihe maximal 2 Kugeln entfernt werden können, ergeben dies insgesamt 12 Kugeln. Da das Feld aus 36 Kugeln besteht, ist die kleinste Anzahl der Kugeln, die übrig bleiben, 36-12=24 Kugeln.
    In der Zeichnung seht ihr eine Möglichkeit, die alle Bedingungen erfüllt. Die schwarzen Kugeln entsprechen denen, die weggenommen wurden.

  1. Die Lösungen - die ersten acht sind rot markiert - können folgender Tabelle entnommen werden:

Anzahl der Kugeln an der Spielfeldbegrenzung

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Anzahl der für die Fläche benötigten Kugeln

II

(1)

3

6

10

15

21

28

36

45

55

66

Anzahl der Spieler mit je 4 Kugeln

III

           

7

9

     

Anzahl der Spieler mit je 5 Kugeln

IV

     

2

3

     

9

11

 

Anzahl der Spieler mit je 6 Kugeln

V

   

1

       

6

   

11

I

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

II

78

91

105

120

136

153

171

190

210

231

253

276

300

325

351

378

III

     

30

34

           

69

75

     

IV

   

21

24

     

38

42

     

60

65

   

V

13

   

20

       

35

   

46

50

   

63

I

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

II

406

435

465

496

528

561

595

630

666

703

741

780

820

861

903

946

III

     

124

132

           

195

205

     

IV

 

87

93

     

119

126

     

156

164

     

V

       

88

   

105

111

   

130

       
  1. Dies ist eine sogenannte „produktive Aufgabe“, weil nicht nur die Größe des Strafraums, sondern auch der Kugeldurchmesser gut ermittelt werden muss. Je nach Alter und mathematischer Erfahrung erschließt man das Problem mit unterschiedlichen Methoden:
    Zum Strafraum:
    Fußballspielermethode: Die aktiven Fußballer sprechen vom „16-Meter-Raum“; daraus kann man schließen, dass die Länge der Seitenlinie des Strafraums 16 m betrage; die Torbreite von 7,32 m wird nach links und rechts um jeweils die Länge der Seitenlinie verlängert, folglich kann daraus geschlossen werden, dass die Länge dieser Linie 39,32 m betrage.
    Quellenbenutzermethode: Ein gutes Buch oder Lexikon (z. B. Schulbuch Mathematik, 6. Schuljahr / Meyers Enzyklopädisches Lexikon) geben Auskunft, dass die Maße des Strafraums 16,5 m bzw. 
    7,32 m + 2 · 16,5 m = 40,32 m betragen
    Nachprüfermethode: Wer die Möglichkeit hat, im Stadion nachzumessen, wird mit dem Bandmaß im Bundesligastadion einen Wert in der Nähe von 40,3 m ermitteln.
    Zum Kugeldurchmesser:
    Methode der Experimentierfreudigen: Man nimmt ein Schneiderbandmaß oder einen 23 cm langen Faden und teste den Umfang von Marmeladengläsern, Schuhcremedeckeln oder Ähnlichem und misst den Durchmesser von einem passenden Gegenstand; Ergebnis ca.7 cm.
    Methode der Erkenntnisreichen: Man dividiert den Umfang durch die Kreiskonstante: ca. 7,32 cm. Wegen der Zentimetergenauigkeit wird man mit 7 cm weiterarbeiten.
    Methode der Besserwisser: Man holt seine Normkugeln aus der Boule-Ecke und misst sie aus: (ca. 7,3 cm.) und verwendet dieses Maß für seine Berechnungen
    Als Ergebnisse kommen dann nach folgerichtiger Darlegung
    für das größere Maß Zahlen von 39,32 m:7,32 cm ≈ 537 bis 40,32 m : 7 cm ≈ 551
    bzw. für das kleinere Maß Zahlen von 16m : 7,32 cm ≈ 219 bis 16,5m : 7cm ≈ 236 in Betracht.
    Wer die Frage so versteht, dass er die Summe aller Kugeln auf den Strafraumbegrenzungslinien bildet, kommt auf Zahlen von 2 · (537+219) - 4 = 1508 bis 2 · (551+236) - 4 = 1570.
  2. Noch solch eine Aufgabe! Der Fußballplatz hat keine festgeschriebenen Maße; deshalb kann seine Größe 
    70 m x 100 m oder 63 m x 105 m oder auch 90 m x 140 m betragen.

    Den Kugeldurchmesser entnehmen wir den erfolgreichen Bemühungen von 1.c): Dann passen z.B. auf eine 63m lange Torlinie etwa 900 Kugeln. Die Tabelle von 1.b) fortzusetzen bis Spalte 900 käme wohl nur Übereifrigen in den Sinn. Hier lohnt es sich, auf den Spuren des Carl Friedrich Gauß zu wandeln: Es geht um folgende beispielhafte Summe 
    900+899+........+3+2+1 = (1+900)+(2+898)+......+(450+451) = 901+901+.....+901 = 450·901 
    (= 1/2 · 900 · 901) = 405450. 
    Experten wissen, dass die Höhe des „Dreiecks“ ist ca. 55m; das heißt für die jüngeren Leser, dass sie letzte (Einzel-)Kugel ca. 55m von der Torlinie entfernt ist. Das bedeutet wiederum, dass bei diesem Spielfeld mehr Kugeln auf das Spielfeld passen, wenn die Grundlinie des „Kugeldreiecks“auf der Seitenlinie aufgebaut wird. Für die Länge der Höhe h gilt  ,wobei s die Länge der Dreiecksseite ist. Mit h = 63m  ergibt sich s≈72,75m, also ca. 1039 (7cm dicke) Kugeln auf der Basislinie. Die Anzahl aller Kugeln in einer solchen Dreiecksfläche ist 1/2 · 1039 · (1039+1) = 540280.
    Schüler der Stufe 7 können (am Schuljahresende) ein gleichseitiges Dreieck konstruieren, Höhe und Seitenlänge messen, die Verhältnisse proportional auf den Fußballplatz übertragen und sonst wie oben die Aufgabe angehen.
    (Je nach gemessener oder angenommener Größe der Spielfeldmaße ergeben sich andere Schätzgrößen.)

2. Aufgabe (Das gefräßige Pferd):

  1. Das gefräßige Pferd frisst an einem Tag einen Sack Hafer.
    Die übrigen 9 Pferde fressen an einem Tag folgende Bruchteile eines Sacks Hafer:
Nummer des Pferdes 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bruchteil


=
Die übrigen 9 Pferde fressen von einem Sack Hafer an einem Tag.
Das gefräßige Pferd frisst von einem Sack Hafer mehr an einem Tag.

Das gefräßige Pferd frisst an einem Tag einen Sack Hafer.
Die übrigen 19 Pferde fressen an einem Tag folgende Bruchteile eines Sacks Hafer:
(Fortsetzung der obigen Tabelle):

Nummer des Pferdes 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Bruchteil


=

Die übrigen 19 Pferde fressen von einem Sack Hafer an einem Tag.
Das gefräßige Pferd frisst von einem Sack Hafer mehr an einem Tag.
Bei 29 zusätzlichen Pferden gilt entsprechend:

Die übrigen 29 Pferde fressen von einem Sack Hafer an einem Tag.
Das gefräßige Pferd frisst von einem Sack Hafer mehr an einem Tag.

  1. Mit keiner endlichen Anzahl von Pferden (theoretisch denkbar, die Pferde wären in Wirklichkeit natürlich längst verhungert) ist es machbar, dass die übrigen Pferde einen Sack Hafer schneller auffressen als das gefräßige Pferd.

    Begründung geometrisch:

    Wenn man einen Sack Hafer durch ein Quadrat der Seitenlänge 1 symbolisiert, dann frisst das zweite Pferd genau ein halbes Quadrat, das dritte Pferd die Hälfte des anderen halben Quadrates, also ein Viertel des Quadrats usw. Zusammen fressen sie 3/4 usw.

    All übrigen Pferde zusammen fressen immer einen Bruchteil weniger als das gefräßige Pferd, wobei dieser Bruchteil 1 / 2n beträgt (n die Anzahl der „übrigen“ Pferde).
    Wenn die Anzahl der übrigen Pferde sehr groß wird, bleibt der Bruchteil 1/2n immer vorhanden, wird aber beliebig klein. (geometrische Reihe)

3. Aufgabe (Schachmatt):

  1. Das Aufstellen der Türme ist ein Versuch mit 8 Stufen.
    1. Stufe: Stelle einen Turm in die erste Spalte, das funktioniert auf 8 Arten.
    2. Stufe: Stelle einen Turm in die zweite Spalte, das funktioniert auf 7 Arten.
    3. Stufe: Stelle einen Turm in die dritte Spalte, das funktioniert auf 6 Arten.
    usw

    Es gibt also nach Produktregel 8! = 40320 Arten, die Türme auf das Schachbrett zu stellen.
  2. Es lassen sich 2 Lösungswege darstellen:

    1. Zur Hinführung lässt sich fragen, wie viele kürzeste Wege es zu jedem Quadrat der ersten Reihe, der linken Spalte gibt.
      Danach fragt man, wie viele Wege es zum 2.,3.,4., ... Quadrat der zweiten Reihe gibt.
      Danach folgt die gleiche Überlegung für die dritte Reihe, usw
      Offensichtlich gibt es nur einen kürzesten Weg, auf dem der Turm ein Quadrat der ersten Zeile oder Spalte erreichen kann.
      Um von A8 nach B7 zu gelangen, kann er also über A7 oder B8 gehen. Es gibt zwei Möglichkeiten. Der Weg nach C7 bietet eine weitere, also 3 Möglichkeiten.
      Die Anzahle aller möglichen kürzesten Wege ist somit die Summe der möglichen Wege der Quadrate unmittelbar über und links neben dem Zielquadrat.
8 Start 1 1 1 1 1 1 1
7 1 2 3 4 5 6 7 8
6     6 10 15 21 28 36
5       20 35 56 84 120
4         70 126 210 330
3           252 462 792
2             924 1716
1               3432
  A B C D E F G H

 

4. Aufgabe (Fahrradkette):

Habt ihr die gleiche Lösung gefunden?!

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