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Team-Wettbewerb 2003 rarrow.gif (91 Byte) Lösung Oberstufe

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2003
Lösungen der Aufgaben für die Oberstufe

1. Aufgabe (Boule):

  1. Da in jeder Reihe maximal 2 Kugeln entfernt werden können, ergeben dies insgesamt 12 Kugeln. Da das Feld aus 36 Kugeln besteht, ist die kleinste Anzahl der Kugeln, die übrig bleiben, 36-12=24 Kugeln.
    In der Zeichnung seht ihr eine Möglichkeit, die alle Bedingungen erfüllt. Die schwarzen Kugeln entsprechen denen, die weggenommen wurden.

  1. Die Lösungen - die ersten acht sind rot markiert - können folgender Tabelle entnommen werden:

Anzahl der Kugeln an der Spielfeldbegrenzung

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Anzahl der für die Fläche benötigten Kugeln

II

(1)

3

6

10

15

21

28

36

45

55

66

Anzahl der Spieler mit je 4 Kugeln

III

           

7

9

     

Anzahl der Spieler mit je 5 Kugeln

IV

     

2

3

     

9

11

 

Anzahl der Spieler mit je 6 Kugeln

V

   

1

       

6

   

11

I

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

II

78

91

105

120

136

153

171

190

210

231

253

276

300

325

351

378

III

     

30

34

           

69

75

     

IV

   

21

24

     

38

42

     

60

65

   

V

13

   

20

       

35

   

46

50

   

63

I

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

II

406

435

465

496

528

561

595

630

666

703

741

780

820

861

903

946

III

     

124

132

           

195

205

     

IV

 

87

93

     

119

126

     

156

164

     

V

       

88

   

105

111

   

130

       
  1. Dies ist eine sogenannte „produktive Aufgabe“, weil nicht nur die Größe des Strafraums, sondern auch der Kugeldurchmesser gut ermittelt werden muss. Je nach Alter und mathematischer Erfahrung erschließt man das Problem mit unterschiedlichen Methoden:
    Zum Strafraum:
    Fußballspielermethode: Die aktiven Fußballer sprechen vom „16-Meter-Raum“; daraus kann man schließen, dass die Länge der Seitenlinie des Strafraums 16 m betrage; die Torbreite von 7,32 m wird nach links und rechts um jeweils die Länge der Seitenlinie verlängert, folglich kann daraus geschlossen werden, dass die Länge dieser Linie 39,32 m betrage.
    Quellenbenutzermethode: Ein gutes Buch oder Lexikon (z. B. Schulbuch Mathematik, 6. Schuljahr / Meyers Enzyklopädisches Lexikon) geben Auskunft, dass die Maße des Strafraums 16,5 m bzw. 
    7,32 m + 2 · 16,5 m = 40,32 m betragen
    Nachprüfermethode: Wer die Möglichkeit hat, im Stadion nachzumessen, wird mit dem Bandmaß im Bundesligastadion einen Wert in der Nähe von 40,3 m ermitteln.
    Zum Kugeldurchmesser:
    Methode der Experimentierfreudigen: Man nimmt ein Schneiderbandmaß oder einen 23 cm langen Faden und teste den Umfang von Marmeladengläsern, Schuhcremedeckeln oder Ähnlichem und misst den Durchmesser von einem passenden Gegenstand; Ergebnis ca.7 cm.
    Methode der Erkenntnisreichen: Man dividiert den Umfang durch die Kreiskonstante: ca. 7,32 cm. Wegen der Zentimetergenauigkeit wird man mit 7 cm weiterarbeiten.
    Methode der Besserwisser: Man holt seine Normkugeln aus der Boule-Ecke und misst sie aus: (ca. 7,3 cm.) und verwendet dieses Maß für seine Berechnungen
    Als Ergebnisse kommen dann nach folgerichtiger Darlegung
    für das größere Maß Zahlen von 39,32 m:7,32 cm ≈ 537 bis 40,32 m : 7 cm ≈ 551
    bzw. für das kleinere Maß Zahlen von 16m : 7,32 cm ≈ 219 bis 16,5m : 7cm ≈ 236 in Betracht.
    Wer die Frage so versteht, dass er die Summe aller Kugeln auf den Strafraumbegrenzungslinien bildet, kommt auf Zahlen von 2 · (537+219) - 4 = 1508 bis 2 · (551+236) - 4 = 1570.
  2. Noch solch eine Aufgabe! Der Fußballplatz hat keine festgeschriebenen Maße; deshalb kann seine Größe 
    70 m x 100 m oder 63 m x 105 m oder auch 90 m x 140 m betragen.

    Den Kugeldurchmesser entnehmen wir den erfolgreichen Bemühungen von 1.c): Dann passen z.B. auf eine 63m lange Torlinie etwa 900 Kugeln. Die Tabelle von 1.b) fortzusetzen bis Spalte 900 käme wohl nur Übereifrigen in den Sinn. Hier lohnt es sich, auf den Spuren des Carl Friedrich Gauß zu wandeln: Es geht um folgende beispielhafte Summe 
    900+899+........+3+2+1 = (1+900)+(2+898)+......+(450+451) = 901+901+.....+901 = 450·901 
    (= 1/2 · 900 · 901) = 405450. 
    Experten wissen, dass die Höhe des „Dreiecks“ ist ca. 55m; das heißt für die jüngeren Leser, dass sie letzte (Einzel-)Kugel ca. 55m von der Torlinie entfernt ist. Das bedeutet wiederum, dass bei diesem Spielfeld mehr Kugeln auf das Spielfeld passen, wenn die Grundlinie des „Kugeldreiecks“auf der Seitenlinie aufgebaut wird. Für die Länge der Höhe h gilt  ,wobei s die Länge der Dreiecksseite ist. Mit h = 63m  ergibt sich s≈72,75m, also ca. 1039 (7cm dicke) Kugeln auf der Basislinie. Die Anzahl aller Kugeln in einer solchen Dreiecksfläche ist 1/2 · 1039 · (1039+1) = 540280.
    Schüler der Stufe 7 können (am Schuljahresende) ein gleichseitiges Dreieck konstruieren, Höhe und Seitenlänge messen, die Verhältnisse proportional auf den Fußballplatz übertragen und sonst wie oben die Aufgabe angehen.
    (Je nach gemessener oder angenommener Größe der Spielfeldmaße ergeben sich andere Schätzgrößen.)
  3. Zu erkennen ist, wie die Summe der Kugeln zu finden ist: zu berechnen ist die Summe n+(n-1)+(n-2)+.......3+2+1, also die Summe der n ersten natürlichen Zahlen: Durch Umordnen der Summanden ergibt sich für gerade natürliche Zahlen: [n+1]+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+... ...[(0,5 n+1)+0,5 n] = [n+1] · 0,5 · n = 0,5 · n · (n+1) ,für 0,5 · n Summanden, wie man dies in Formelsammlungen findet.
    Für ungerade n steht bei der Auflistung nach Größe der Term (die Zahl) (n+1)/2 in der Mitte, er (sie) bleibt übrig, wenn die größte zur 1 , die zweitgrößte zur 2 u.s.w. - wie oben-  addiert werden. [n+1]+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+... ...[(0,5 (n+1)+1)+(0,5 (n+1)-1)] +(n+1)/2=
    [n+1]·(0,5 (n+1)-1) +(n+1)/2 = (n+1) · [ (n+1)/2 – 1+0,5] = 0,5 · n · (n+1).
  4. Da eine Raute ein Viereck mit gleich langen Seiten ist, gilt es zu erkennen, dass dieses Feld mit n Reihen zu je n Kugeln zu belegen ist, also mit n2 Kugeln. Wann ist also der Term für Dreieckszahlen. dk = 0,5 · k · (k+1) eine Rautenzahl rn – also eine Quadratzahl?
    d1 = r1 = 1 entfällt nicht nur aus ästhetischen Gründen.  Aus obiger Tabelle kann abgelesen werden d8 = 36 = r6 unter den ersten 43 Dreieckszahlen. Die nächste ist erst 1225.
  5. Dreieckszahlen.d3 = 6 und d2 = 3 ergeben als Summe die Rautenzahl r3 = 9. Für d4 = 10 und d3 = 6 ergibt sich als Summe die Rautenzahl r4 = 16.
    Zu zeigen: dn= 0,5 · n · (n+1) und dn-1= 0,5 · (n-1) · n ergeben als Summe die Rautenzahl rn= n2.
    0,5 · n · (n+1) + 0,5 · (n-1) · n = 0,5 · n · [(n+1)+(n-1)] = n2.
  6. Für Länge l und Breite b des Spielfeldes ergibt sich , l als doppelte Höhe im gleichseitigen Dreieck. Wir haben es mit einem Näherungsproblem zu tun; denn bei der bekannten Breite der Kreide“linien“ auf dem Platz sollte nicht darüber gestritten werden, ob die Kugel vollständig innerhalb gedachter Begrenzungslinien liegen muss.

2. Aufgabe (Fermat-Zahlen):

  1. F(0) = 3
    F(1) = 5
    F(2) = 17
    F(3) = 256+1=257
    F(4) = 65536+1=65537

    Der Primzahlnachweis für n<=3 erfolgt über Tabelle, für n=4 zeigt man, dass die Primzahlen keine Teiler von F(4) sind.
  2. F(5) = 4.294.967.297
    1. Der Trivialweg: F(5) ist durch 641 teilbar, was eine Rechnung belegt.
      4.294.967.297:641=6.700.417
    2. Kongruenzrechnung: Es gelten folgende Zerlegungen:


      Aus (1) folgt durch Potenzieren:

      Aus (2) folgt:

      Hieraus folgt und damit die Behauptung.
  3. Solche Fermat-Zahlen haben die Endziffer 7, denn

    also gilt:
    .
  4. F(0) und F(1) sind prim. Da nach c) Fermat-Zahlen mit n>1 auf  7 enden, sind sie keine Quadratzahlen. Diese enden nämlich nur auf 0,1,4,5,6 oder 9.
  5. F(0) · F(1) = 15 = F(2) – 2
    F(0) · F(1) · F(2) = 255 = F(3) – 2
    F(0) · F(1) · F(2) · F(3) = 65535 = F(4) - 2
    F(0) · F(1) · F(2) · F(3) · F(4) = 4.294.967.295 = F(5) – 2

    Mit Hilfe des „Teleskopprinzips“ lässt sich zeigen:

  6. Aus e) ergibt sich , dass F(n) teilerfremd zu
    F(0), F(1), F(2), F(3), ... , F(n -1) ist.
    Nun enthält jede Fermat-Zahl Primfaktoren, die in den vorangehenden Fermat-Zahlen
    n i c h t vorgekommen sind.
    Folglich gibt es unendlich viele Primzahlen.

3. Aufgabe (Vier Dörfer):

Wegen Symmetrie der Aufgabenstellung
wird eine symmetrische Lösung betrachtet.
Die Wege werden wie in der Skizze dargestellt angelegt. Sei x die Länge des geraden Stücks in der Mitte, ergibt sich als Gesamtlänge:

Für x = 2 erhält man eine Strecke der Länge 10,94 km.

Ein x, das die Weglänge minimal werden lässt, liegt etwa bei 1,6.
s (1,6) = 10,93 km
Das minimale Straßensystem lässt sich folgendermaßen bestimmen:

Die günstigste Länge von x und somit das kürzeste Straßennetz lässt sich über eine Funktion oder auch eine genaue Wertetabelle näherungsweise bestimmen.

4. Aufgabe (Fahrradkette):

Habt ihr die gleiche Lösung gefunden?!

 

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