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Team-Wettbewerb 2004 rarrow.gif (91 Byte) Aufgaben 7/8

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2004
Aufgaben für die Klassen 7/8

1. Aufgabe (Quadrate im Rechteck):

Die Abbildung zeigt eine rechteckige Tafel, die aus 3 Reihen zu je 8 quadratischen Feldern zusammengesetzt ist. Darin lassen sich „Einerquadrate“, die lediglich aus nur einem quadratischen Feld bestehen, und „Zweierquadrate“ (bestehend aus 2 Reihen zu je 2 Einerquadraten) und „Dreierquadrate“ (bestehend aus 3 Reihen zu je 3 Einerquadraten) finden.

               
               
               

 

  1. Wie viele Quadrate von jeder dieser drei Sorten findet ihr insgesamt in dem oberen dargestellten Rechteck?
  2. Beantwortet die entsprechenden Fragen auch für ein Rechteck aus 2 x 7 Feldern, für ein Rechteck aus 4 x 9 Feldern, für ein Rechteck aus 5 x 10 Feldern.
    Findet ihr eine Regelmäßigkeit, wie ihr die Anzahl der Quadrate berechnen könnt?
  3. Vorgegeben ist ein unbegrenztes Schachfeld. Auf einige Felder werden „Marker“ gesetzt, d.h. diese Felder werden farbig markiert. Die anfängliche Platzierung der Marker ist die erste Generation. Jedes markierte Feld hat 8 Nachbarfelder (4 seitlich und 4 diagonal angrenzende). Um von einer Generation zur nächsten zu gelangen, gibt es Regeln:

    Jeder Marker mit genau 2 oder 3 Nachbarn (d. h. ebenfalls markierten Feldern) bleibt für die nächste Generation erhalten.
    (Alle Marker mit 4 oder mehr Nachbarn oder mit 0 oder 1 Nachbarn scheiden demnach aus.)

    Jedes Feld mit genau 3 markierten Nachbarfeldern erhält in der nächsten Generation einen Marker.

    Die Veränderungen, die die drei Regeln diktieren, finden alle gleichzeitig statt, so dass von einem Augenblick zum anderen immer neue Generationen entwickelt werden.

    Entwickle bei jedem der nachstehenden Ausgangsmuster 3 neue Generationen:

    (I)
             
             
             

    (II)
             
             
             
             
             

    (III)
                 
                 
                 
                 
                 

    (IV)
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     

2. Aufgabe (Partyspaß):

Um Mitternacht holt Susi drei rote und zwei grüne Mützen und spielt mit 3 Gästen ihrer Geburtstagsparty das folgende Spiel: Sarah, Can und Richard setzen sich auf drei Stühle, die hintereinander stehen. Susi löscht das Licht; es ist stockfinster und sie setzt jetzt jedem der drei eine der 5 Mützen auf.  Das Licht wird wieder eingeschaltet. Niemand darf sich umdrehen.
Sarah sieht nur die Mützen von Can und Richard, Can nur die von Richard und Richard kann keine der Mützen sehen.
Sarah: "Ich kann nicht genau entscheiden, ob ich eine rote oder grüne Mütze trage!"
Can: "Ich kann nicht genau entscheiden, ob ich eine rote oder grüne Mütze trage!"
Richard: "Ich weiß, welche Farbe meine Mütze hat."

3. Aufgabe (Kerstin und die Schokolade):

Kerstin bekam eine Tafel Schokolade von ihrer Mutter geschenkt mit der Bitte, dass sie diese Tafel mit ihrem Bruder  Peter teilen soll. Kerstin bemerkte, dass alle Stückchen Schokolade außer dem letzten Stück der Tafel mit einer Haselnuss gefüllt waren. Sie besteht also aus 59 gefüllten Stückchen und einem ungefüllten Stückchen.

  1. Kerstin und Ihr Bruder Peter streiten darüber, wie oft sie die Schokolade längs bzw. quer zu den Rippen brechen müssen, um alle 60 Stücke einzeln zu erhalten. Kannst du ihnen verraten, wie man am effektivsten vorgehen kann?
  2. Kerstin hatte nun eine andere Idee:
    Jeder von den beiden bricht abwechselnd von der Tafel Schokolade längs bzw. quer eine Rippe Schokolade ab (das kann je nachdem eine Reihe aus mehren Stücken sein aber auch nur noch 1 Stück). Wer dabei zum Schluss das Stück Schokolade ohne der Haselnuss erhält, hat verloren und muss auf die ganze schöne Schokolade verzichten und dem anderen abgeben.
    Kerstin möchte natürlich gewinnen und die ganze Tafel Schokolade alleine essen. Ihr Bruder Peter  besteht allerdings darauf,  als zweiter zu beginnen. Wie muss Kerstin anfangen, damit sie auf jeden Fall gewinnt?

4. Aufgabe (Apfelträume):

Sarah macht mit ihrer kleinen Schwester Sophie eine Schnitzeljagd. Sarah hat lange braune Haare, Sophie lange blonde. Außerdem kann Sophie viel schneller rennen als ihre Schwester Sarah, obwohl sie drei Jahre jünger und 30 cm kleiner ist.
Die beiden kommen bei ihrer Schnitzeljagd an einem Apfelbaum vorbei. Leider hängen die Äpfel sehr weit oben. Aber die kleine Sophie weiß Rat. „Weißt du was?“ überlegt sie laut, „ich klettere jetzt einfach auf deine Schultern und schon haben wir einen leckeren Apfel.“ Nur wenige Zentimeter fehlen. Betrübt sehen sich die beiden an. Kein Zaun, kein Stock, kein Stein ist in der Nähe und auch kein Ast am Apfelbaum zum Klettern.
Sarah hat die entscheidende Idee- und schon haben beide ihre Taschen voller Äpfel.

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