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Team-Wettbewerb 2004 rarrow.gif (91 Byte) Aufgaben 9/10

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2004
Aufgaben für die Klassen 9/10

1. Aufgabe (Quadrate im Rechteck):

Die Abbildung zeigt eine rechteckige Tafel, die aus 3 Reihen zu je 8 quadratischen Feldern zusammengesetzt ist. Darin lassen sich „Einerquadrate“, die lediglich aus nur einem quadratischen Feld bestehen, und „Zweierquadrate“ (bestehend aus 2 Reihen zu je 2 Einerquadraten) und „Dreierquadrate“ (bestehend aus 3 Reihen zu je 3 Einerquadraten) finden.

               
               
               

 

  1. Wie viele Quadrate von jeder dieser drei Sorten findet ihr insgesamt in dem oberen dargestellten Rechteck?
  2. Beantwortet die entsprechenden Fragen auch für ein Rechteck aus 2 x 7 Feldern, für ein Rechteck aus 4 x 9 Feldern, für ein Rechteck aus 5 x 10 Feldern.
    Findet ihr eine Regelmäßigkeit, wie ihr die Anzahl der Quadrate berechnen könnt?
  3. Vorgegeben ist ein unbegrenztes Schachfeld. Auf einige Felder werden „Marker“ gesetzt, d.h. diese Felder werden farbig markiert. Die anfängliche Platzierung der Marker ist die erste Generation. Jedes markierte Feld hat 8 Nachbarfelder (4 seitlich und 4 diagonal angrenzende). Um von einer Generation zur nächsten zu gelangen, gibt es Regeln:

    Jeder Marker mit genau 2 oder 3 Nachbarn (d. h. ebenfalls markierten Feldern) bleibt für die nächste Generation erhalten.
    (Alle Marker mit 4 oder mehr Nachbarn oder mit 0 oder 1 Nachbarn scheiden demnach aus.)

    Jedes Feld mit genau 3 markierten Nachbarfeldern erhält in der nächsten Generation einen Marker.

    Die Veränderungen, die die drei Regeln diktieren, finden alle gleichzeitig statt, so dass von einem Augenblick zum anderen immer neue Generationen entwickelt werden.

    Entwickle bei jedem der nachstehenden Ausgangsmuster 3 neue Generationen:

    (I)
             
             
             

    (II)
             
             
             
             
             

    (III)
                 
                 
                 
                 
                 

    (IV)
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     

  4. Gebt ein Muster aus mindestens 5 Markern an, das in der vierten Folgegeneration aus genau einem einzigen Marker besteht.

2. Aufgabe (Bruchrechnen im alten Ägypten):

Seit der Entdeckung des Papyrus Rhind wissen wir, dass die Ägypter alle Brüche in der Form von Stammbrüchen oder Summen von verschiedenen Stammbrüchen (Ausnahme: 2/3) notierten. (Brüche mit dem Zähler 1 nennen wir Stammbrüche.)

  1. Stelle 1/2 als Summe von 2 verschiedenen Stammbrüchen dar.
  2. Stelle 1/3 (1/4, 1/5, 1/6, 1/7) als Summe von 3 (4, 5, 6, 7) verschiedenen Stammbrüchen dar.
  3. Zeige 1/2004 lässt sich als Summe von 2 verschiedenen Stammbrüchen schrieben.
  4. Beschreibe, wie sich für 1/2004 als eine Summe von 2004 verschiedenen Stammbrüchen schreiben lässt.

3. Aufgabe (Die Sprache der Bubus):

Das Volk der BUBUS spricht eine sehr einfache Sprache. Das Alphabet dieser Sprache besteht aus folgenden 7 Buchstaben  (1234567), die genau in dieser Reihenfolge angeordnet sind. Alle Wörter dieser Sprache bestehen aus genau 7 Buchstaben. Durch Vertauschen dieser sieben Buchstaben werden sie gebildet. Dem exakt nach dem Alphabet geordneten Wörterbuch ist die Reihenfolge zu entnehmen.

  1. Wie viele Wörter lassen sich bilden?
  2. Wie sieht das dritte, 98. und 3333. Wort aus?
  3. Notiere das 9876. Wort!
  4. Das wievielte Wort des Alphabets spricht der untenstehende Bewohner?

4. Aufgabe (Apfelträume):
Sarah macht mit ihrer kleinen Schwester Sophie eine Schnitzeljagd. Sarah hat lange braune Haare, Sophie lange blonde. Außerdem kann Sophie viel schneller rennen als ihre Schwester Sarah, obwohl sie drei Jahre jünger und 30 cm kleiner ist.
Die beiden kommen bei ihrer Schnitzeljagd an einem Apfelbaum vorbei. Leider hängen die Äpfel sehr weit oben. Aber die kleine Sophie weiß Rat. „Weißt du was?“ überlegt sie laut, „ich klettere jetzt einfach auf deine Schultern und schon haben wir einen leckeren Apfel.“ Nur wenige Zentimeter fehlen. Betrübt sehen sich die beiden an. Kein Zaun, kein Stock, kein Stein ist in der Nähe und auch kein Ast am Apfelbaum zum Klettern.
Sarah hat die entscheidende Idee- und schon haben beide ihre Taschen voller Äpfel.

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