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Team-Wettbewerb 2004 rarrow.gif (91 Byte) Aufgaben Oberstufe

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2004
Aufgaben für die Oberstufe

1. Aufgabe (Quadrate im Rechteck):

Die Abbildung zeigt eine rechteckige Tafel, die aus 3 Reihen zu je 8 quadratischen Feldern zusammengesetzt ist. Darin lassen sich „Einerquadrate“, die lediglich aus nur einem quadratischen Feld bestehen, und „Zweierquadrate“ (bestehend aus 2 Reihen zu je 2 Einerquadraten) und „Dreierquadrate“ (bestehend aus 3 Reihen zu je 3 Einerquadraten) finden.

               
               
               

 

  1. Wie viele Quadrate von jeder dieser drei Sorten findet ihr insgesamt in dem oberen dargestellten Rechteck?
  2. Beantwortet die entsprechenden Fragen auch für ein Rechteck aus 2 x 7 Feldern, für ein Rechteck aus 4 x 9 Feldern, für ein Rechteck aus 5 x 10 Feldern.
    Findet ihr eine Regelmäßigkeit, wie ihr die Anzahl der Quadrate berechnen könnt?
  3. Vorgegeben ist ein unbegrenztes Schachfeld. Auf einige Felder werden „Marker“ gesetzt, d.h. diese Felder werden farbig markiert. Die anfängliche Platzierung der Marker ist die erste Generation. Jedes markierte Feld hat 8 Nachbarfelder (4 seitlich und 4 diagonal angrenzende). Um von einer Generation zur nächsten zu gelangen, gibt es Regeln:

    Jeder Marker mit genau 2 oder 3 Nachbarn (d. h. ebenfalls markierten Feldern) bleibt für die nächste Generation erhalten.
    (Alle Marker mit 4 oder mehr Nachbarn oder mit 0 oder 1 Nachbarn scheiden demnach aus.)

    Jedes Feld mit genau 3 markierten Nachbarfeldern erhält in der nächsten Generation einen Marker.

    Die Veränderungen, die die drei Regeln diktieren, finden alle gleichzeitig statt, so dass von einem Augenblick zum anderen immer neue Generationen entwickelt werden.

    Entwickle bei jedem der nachstehenden Ausgangsmuster 3 neue Generationen:

    (I)
             
             
             

    (II)
             
             
             
             
             

    (III)
                 
                 
                 
                 
                 

    (IV)
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     

  4. Gebt ein Muster aus mindestens 5 Markern an, das in der vierten Folgegeneration aus genau einem einzigen Marker besteht.
  5. Entwickeln Sie zwei unmittelbar vorangehenden Generationen des dargestellten Musters:
             
             
             
             
             

2. Aufgabe (Das kreis-rautenförmige Schwimmbad):

Der Betreiber eines Spaßbades in Düsseldorf  möchte sich in seinem benachbarten Wohnort ein privates kreis-rautenförmiges Schwimmbad bauen lassen. Der Architekt hat den Grundriss (s.o.!) vorgelegt und erläutert seinen Plan: Kreis und Raute sind „ineinander geschoben“; die Fontäne (F) kann einen 12m hohen Wasserstrahl empor schicken, sie ist einerseits Mittelpunkt des Kreises – andererseits Mittelpunkt einer 6m langen Rautenseite; der Kreisbogen beginnt beim Endpunkt einer Rautenseite und endet auf der gegenüberliegenden Seite

  1. Die (blaue) Umrandung soll durch Designerkacheln in besonders schöner Weise eingefasst werde. Berechnen Sie den Umfang.
  2. Das Becken soll eine Tiefe von 1,50m haben. Wie viele Liter Wasser fasst das Becken?

3. Aufgabe (Neapel sehen und dann ... waschen):

Sechs Studentinnen und zehn Studenten aus Düsseldorf befinden sich auf einer Bildungsreise in Neapel. Ihr Quartier ist ein Campingplatz, der für Waschtage einen quadratischen Trockenplatz vorsieht, in dessen Ecken Pfosten stehen. Die drei vorhandenen Leinen sind zu kurz, um sie einzeln zwischen zwei Pfosten zu spannen; eine Studentin knotet kurzentschlossen die beiden längsten Leinen zusammen und befestigt die Enden an zwei diagonal stehenden Pfosten; da der Knoten durchhängt, wird an diesem die dritte Leine angeknotet und das reicht noch aus, um  das Ganze straff zu einem freistehenden Pfosten hin zu spannen. Nun stehen zum Aufhängen der Wäsche 14m, bzw. 10m bzw. 6m lange Abschnitte zur Verfügung.

  1. Ermitteln Sie die Entfernung benachbarter Pfosten mit Zentimetergenauigkeit.
  2. Berechnen Sie die Länge einer vierten Leine zum Fixieren des Knotens an dem vierten Pfosten.
4. Aufgabe (Apfelträume):
Sarah macht mit ihrer kleinen Schwester Sophie eine Schnitzeljagd. Sarah hat lange braune Haare, Sophie lange blonde. Außerdem kann Sophie viel schneller rennen als ihre Schwester Sarah, obwohl sie drei Jahre jünger und 30 cm kleiner ist.
Die beiden kommen bei ihrer Schnitzeljagd an einem Apfelbaum vorbei. Leider hängen die Äpfel sehr weit oben. Aber die kleine Sophie weiß Rat. „Weißt du was?“ überlegt sie laut, „ich klettere jetzt einfach auf deine Schultern und schon haben wir einen leckeren Apfel.“ Nur wenige Zentimeter fehlen. Betrübt sehen sich die beiden an. Kein Zaun, kein Stock, kein Stein ist in der Nähe und auch kein Ast am Apfelbaum zum Klettern.
Sarah hat die entscheidende Idee- und schon haben beide ihre Taschen voller Äpfel.

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