brlogo
untitled
   
   
   
 

Team-Wettbewerb 2004 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 9/10

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2004
Lösungen der Aufgaben für die Klassen 9/10

1. Aufgabe (Quadrate im Rechteck):

c)

So entwickeln sich die nächsten drei Generationen:

(I)

(II)

(III)

(IV)

d)

2. Aufgabe (Bruchrechnen im alten Ägypten):

a) 1/2=1/3+1/6

b)
1/3=1/4+1/12=(1/5+1/20)+1/12
1/4=1/5+1/20=(1/6+1/30)+1/20=((1/7+1/42)+1/30)+1/20
1/5=1/6+1/30=(1/7+1/42)+1/30=((1/8+1/56)+1/42)+1/30=(((1/9+1/72)+1/56)+1/42)+1/30
1/6=1/7+1/42=(1/8+1/56)+1/42=((1/9+1/72)+1/56)+1/42=
(((1/10+1/90)+1/72)+1/56)+1/42=((((1/11+1/110)+1/90)+1/72)+1/56)+1/42
1/7=1/8+1/56=(1/9+1/72)+1/56=((1/10+1/90)+1/72)+1/56=
(((1/11+1/110)+1/90)+1/72)+1/56=((((1/12+1/132)+1/110)+1/90)+1/72)+1/56=
(((((1/13+1/182)+1/132)+1/110)+1/90)+1/72)+1/56

c) 
Es gilt z.B. 1/2004=1/2005+1/4018020 .

d)
Ein überschaubares Verfahren bietet die Verallgemeinerung von b):

bzw. u.s.w.

3. Aufgabe (Die Sprache der Bubus):

a) 7!= 1x2x3x4x5x6x7=720x7= 5040

b) 
3. Wort: 1234657

98. Wort:  5! =120 verschiedene Wörter mit 12... vorn, 4! =24 verschiedene Möglichkeiten pro Symbol, 127...wegen 4 * 24=96; also 96. Wort  ist 1267543, um zwei weitergezählt 1273456, 1273465

3333.Wort: 720*4=2880 also 1.Stelle eine 5; Rest  453; 3*120=360 also 2. Stelle 4; Rest 93; 24*3=72,also 4 geht nicht, 5 auch nicht, also 3.Stelle 6; Rest 21; 6*3=18,  4 ,5, 6 nicht, also 7 Rest 3, 2*1=2, also 2 Rest 1
also: 5467213

c) Das 9876. Wort existiert nicht in der Sprache der Bubus, da die Sprache insgesamt nur 5040 Wörter hat.

d) Da an der ersten Stelle des Wortes der 4. Buchstabe des Alphabets steht, kommen zumindest alle Wörter, die mit den 3 davor liegenden Buchstaben beginnen, davor: Das sind 3*6!= 2160 Wörter.
Entsprechend ergibt sich für den 2. Buchstaben des Wortes (dem 3. Des Alphabetes): 2*l5! = 240
Für den 3. Buchstaben des Wortes gilt: 1*4!=24.
Der 4. Buchstabe des Wortes ist der erste des Alphabetes , also kommen vorher keine anderen Wörter: 0*3!.
Für den 5. Buchstaben (der 7. Und letzte des Alphabets) muss man nicht die 6 Buchstaben, die im Alphabet vorher stehen, betrachten, sondern weil vier davon bereits benutzt wurden, nur 2. Also 2*2! = 4.
Für den vorletzten Buchstaben des Wortes - ebenso vorletzter des Alphabetes - gilt: 1*1!
Das gesuchte Wort steht also an 2430. Stelle im Wörterbuch, da 2160 + 240 + 24 + 0 + 4 + 1 = 2429 Wörter vor dem gesuchten stehen.

4. Aufgabe (Apfelträume):

Das größere Kind klettert auf die Schultern des kleineren, da durch die größere Armlänge die Reichweite zunimmt und die Kinder an die Äpfel kommen.

Team-Wettbewerb 2004 rarrow.gif (91 Byte) Lösung 9/10