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Team-Wettbewerb 2004 rarrow.gif (91 Byte) Lösung Oberstufe

Mathe-Treff Team-Wettbewerb 2004
Lösungen der Aufgaben für die Oberstufe

1. Aufgabe (Quadrate im Rechteck):

c)

So entwickeln sich die nächsten drei Generationen:

(I)

(II)

(III)

(IV)

d)

e)

2. Aufgabe (Das kreis-rautenförmige Schwimmbad):

Der Bogen über CD hat eine Länge von 3 p, denn er entspricht dem halben Kreisumfang.
Der Bogen über DE hat eine Länge von 1,5p, denn er entspricht einem Viertel Kreisumfang.
Die Strecken AB und BC haben jeweils die Länge 6.
Die Strecke von EA hat die Länge , da das Dreieck DEC rechtwinklig, gleichschenklig ist.

Der Umfang unserer Figur beträgt nun:

Um das Volumen zu bestimmen, müssen wir die Grundfläche unserer Figur mit der Tiefe des Beckens multiplizieren:
G ( Grundfläche ) = Kreisfläche + Rhombenfläche – ( Dreieck DEC + Kreisabschnitt EC )
Dreieck DEC + Kreisabschnitt CE =


3. Aufgabe (Neapel sehen und dann ... waschen):

Nehmen wir ein kartesisches Koordinatenkreuz zu Hilfe und wählen die Koordinaten:
A(0/0), B(a/0), C(a/a), D(0/a) als Pfostenpositionen, E(0/k) als Lotfußpunkt vom Knotenpunkt I(j/k) auf AD, F(j/0) als Lotfußpunkt von I auf AB.

a) 

Es gilt dann:

(1)

(2)

(3)

(4)=(2-1)

(5)=(3-1)

(6)=(2-3)

Durch Einsetzen von (4) und (5) in (1) und Anwendung binomischer Formeln gilt:

(7)

(8) Weil I im Innern des Quadrats liegen soll, darf E höchstens a cm von D entfernt liegen. Das bedeutet: . Folglich entfällt die zweite Zwischenlösung der biquadratischen Gleichung. Es gilt
(9) .

Mit Zentimetergenauigkeit ist die Quadratseite - also die Entfernung benachbarter Pfosten - 15,23 m lang.

b)

Mit (9), (4) und (5) ermitteln wir die Koordinaten von I (j/k) mit

.

Die Länge von IC - das ist die Entfernung vom Knotenpunkt zum vierten Pfosten - ist damit , also auf Zentimetergenauigkeit 16,12m.

4. Aufgabe (Apfelträume):

Das größere Kind klettert auf die Schultern des kleineren, da durch die größere Armlänge die Reichweite zunimmt und die Kinder an die Äpfel kommen.

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