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Online-Team-Wettbewerb 2005

Aufgaben für die gymnasiale Oberstufe


1. Aufgabe (Prima Primzahl?):

Peter und Sebastian streiten sich um folgendes Problem:

Peter sagt: „Denke dir eine beliebige Primzahl größer 3. Quadriere diese Zahl, addiere 17 und dividiere anschließend das erhaltene Ergebnis durch 12. Es bleibt immer der Rest 6 übrig.“

Sebastian belegt seine Aussage durch ein geschickt gewähltes Beispiel:

Gewählt:5, 25, 42, Rest 6 bei der Division durch 12.

Sebastian bezweifelt Peters Aussage trotzdem.

Kann Sebastian Peters Aussage widerlegen? Begründen Sie dabei Ihre Argumentation ausführlich!

(Bild aus http://www.rp-online.de/news/wissenschaft/raetsel/rda_primzahl.html  - siehe auch http://prime.haugk.co.uk/  )

2. Aufgabe (Einsturzgefahr):

Zwischen zwei Häusern fiel ein drittes Bauwerk durch eine Explosion in sich zusammen. Die Wände werden durch riesige Balken (9,25 m bzw. 7,40 m) gestützt, die in 3,70 m Höhe miteinander verbunden sind.

Berechnen Sie die Breite der Lücke zwischen den Häusern.

 

3. Aufgabe (Die Rettung von Prinzessin Sophie):

Prinzessin Sophie liebte den Edelmann Richard, den Cleveren, über alles. 

Leider war seine königliche Majestät Maximillian III, der Vater der überaus schönen Prinzessin Sophie, nicht mit der Wahl seiner Tochter einverstanden. So traf sich das Liebespaar still und heimlich auf einer von drei Seiten vom Meer umgebenden und nur mit Wiese und kleineren Sträuchern bewachsenen Landzunge, die den beiden Liebenden viel Schutz bot. An einem solch romantischen Treffen brach jedoch plötzlich an der Stelle, an der die Halbinsel in das eigentliche Festland übergeht, ein Feuer aus. In dem trockenen Gras und dem Gestrüpp fand das Feuer gute Nahrung. Im Nu vergrößerte es sich, so dass der schönen Prinzessin und dem ach so tapferen Edelmann der Rückweg abgeschnitten war. Zu allem Unglück wehte auch noch der Wind vom Lande her und trieb die Flammen auf die schöne Prinzessin zu. 

Was sollten die beiden nur machen ???

 

 

 

4. Aufgabe (Säulen im Park):

Ein reicher Mann – nennen wir ihn G. Bates – will auf seiner Wohninsel einen Park anlegen lassen. Säulen aus verschieden farbigem Marmor mit Abbildungen berühmter Personen sollen den Park begrenzen. Je zwei Säulen sollen durch einen geraden Weg miteinander verbunden werden. Alle Wege führen durch den Garten. Andere Wege sind nicht angelegt. Der Hausherr wünscht, dass der Rasen nicht betreten wird.

  1. Wie viele Wege müssen höchstens angelegt werden in einem Park mit vier Säulen?
  2. Kann man bei einem Rundgang durch einen Park mit fünf Säulen alle Wege hintereinander beschreiten, ohne einen Weg doppelt zu begehen? – Wie sieht es aus, wenn nur vier Säulen dort stehen?
  3. Stellt euch vor, es werden fünf (bzw. sechs) Säulen aufgestellt. Wie viele verschiedene Wege in der Form eines Dreiecks verbinden genau drei Säulen?
  4. Jetzt gehen wir davon aus, dass sieben Säulen aufgestellt werden. Wie viele verschiedene Wege in der Form eines Dreiecks verbinden genau drei Säulen?

Im Folgenden geht es auch um geschlossene Wege, die nicht an Säulen vorbeigehen.

  1. Bei einem Park mit fünf Säulen gibt es einen Rundgang aus fünf geraden Wegen, der an allen Säulen vorbeiführt. Es gibt außerdem einen Rundgang auf einem geschlossenen Weg aus genau fünf geraden Wegabschnitten, der an keiner Säule vorbeiführt, wenn man seine Geradeausrichtung genau fünfmal nach links ändert. – Wie viele verschiedene solcher Rundgänge in einem Neun-Säulen-Park führen an keiner Säule vorbei, wenn man dabei genau neunmal die Richtung nach links ändert?
  2. Ermitteln Sie die Mindestanzahl der Säulen im Park, wenn neun verschiedene solcher Rundgänge an keiner Säule vorbeiführen und die Anzahl der Richtungsänderungen nach links der Anzahl der Säulen entspricht.

Verallgemeinern Sie auch die Erkenntnisse aus e) und f).

 

 

 

 


 
 
Sunday, 19. November 2017 / 20:56:59