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Beispiele für Abituraufgaben; Kommentare

Leistungskurs Analysis

(1)Die Aufgabe zeigt eine breite, vielseitige Überprüfung klassischer Inhalte im Bereich Analysis. Sie weist beispielhaft in gut abgestufter Form sowohl Standardelemente (Untersuchung von Funktionen-scharen, Eigenschaften von Integralfunktionen) als auch anspruchsvollere Teile auf. Die Aufgabe diente in den 90-er Jahren als Demonstrationsobjekt für die Verkürzung von Abituraufgaben von 5 Stunden auf 4,25 Stunden Dauer. Es ist sowohl die ursprüngliche als auch die verkürzte Form angegeben.
(2)Die Aufgabe bezieht sich auf ein spezielles algebraisches Problem der Potenzrechnung, das unter verschiedenen Aspekten bearbeitet werden soll, unter anderem mit Hilfe der Logarithmusfunktion. Bei entsprechenden unterrichtlichen Voraussetzungen sind Umfang und Schwierigkeitsgrad einem Leistungskurs angemessen.
(3)Die Aufgabe ist eher "klassischen" Charakters, denn der komplexe physikalische Kontext spielt für die Bearbeitung der Teilaufgaben eine stark untergeordnete Rolle. Das CAS hilft deutlich - insbesondere beim Aufstellen des Taylorpolynoms in (c) und wesentlich bei der Anwendung des Newton-Verfahrens in (d). Umfang und Anforderungen entsprechen insgesamt denen eines Leistungskurses. Die Anforderungen beziehen sich deutlich auf innermathematische Konsequenzen. Modellbildende Aspekte spielen keine nennenswerte Rolle.
(4)Die Aufgabe ist ein positives Beispiel für neue Aufgabenkultur und den sinnvollen Einsatz von Derive. Die Aufgabe ist gut aufgebaut. Sie wechselt zwischen Standardaufgaben und Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad. Der Umfang ist wegen der geforderten Begründungen in Ordnung.
(5)Die Aufgabe enthält typische Fragestellungen in Zusammenhang mit Wachstumsfunktionen. Ein Anwendungsbezug ist gut in die Aufgabe integriert. Der Umfang der Aufgabe erscheint angemessen. Abgesehen vom ersten Aufgabenteil hat die Aufgabe ein mittleres Anforderungsniveau. Beim ersten Teil könnte das Aufstellen der Wachstumsfunktion trotz entsprechender Erfahrungen aus dem Unterricht bei anderen Funktionen daran scheitern, dass die Schüler die Differentialgleichung nicht geeignet nach k auflösen.
(6)Die Aufgabe ist eine gut gelungene Anwendungsaufgabe zum logistischen Wachstum. Klassische Fragen der Analysis werden mit Fragestellungen, die sich aus dem Wachstumsvorgang ergeben, gut verknüpft. Weiterführende Fragestellungen werden gut integriert. Die Aufgabe hat auch aufgrund der vielfältigen Fragestellungen ein gutes Anspruchsniveau. Insgesamt erscheint der Umfang der Aufga-be auch bei Nutzung eines CAS recht hoch.
(7)Durch die Deutung der Kurven einer Funktionenschar als Pursuitkurven erfahren die Untersuchung der Funktion, Berechnung von Tangenten und Berechnung von Flächen eine interessante Interpretation. Umfang und Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe ist für einen Leistungskurs angemessen.

Grundkurs Analysis

(1)Diese Aufgabe kann man nach den neuen Richtlinien nicht mehr unbedingt als Beispielaufgabe ansehen. Sie beschränkt sich fast ausschließlich auf innermathematische Routinen wie Steckbrief, Kurvendiskussion, Inhalt einer eingeschlossenen Fläche. Der Einbezug einer weniger standardisierten Teilaufgabe wäre nach dem neuen Lehrplan wünschenswert. Dabei ist der Umfang der Aufgabe durchaus angemessen und der Schwierigkeitsgrad der Rechnungen für Grundkursschüler nicht zu unterschätzen.
(2)Es handelt sich um eine gelungene anwendungsorientierte Analysisaufgabe mit gut strukturierten Teilaufgaben. Umfang und Schwierigkeitsgrad der Aufgabe liegt am oberen Rand des Ermessensspielraumes.
(3)Die Aufgabe befasst sich mit "klassischen" Problemstellungen der Analysis (Steckbrief, Eigenschaften von Funktionsgraphen, Flächeninhalt). Dabei sind alle Teilaufgaben in einheitlicher und beziehungsreicher Weise eingekleidet in einen Trassierungskontext. Der Einsatz von CAS ist, bedingt durch die technischen Schwierigkeiten (Gleichungssystem, Krümmungsfunktion) notwendig. Hat man im Unterricht Trassierungsaufgaben behandelt und sind die Schülerinnen und Schüler den Umgang mit CAS auch in diesem Kontext gewohnt, so entspricht die Aufgabe den Anforderungen für einen Grundkurs. Aufgabenteil (e) geht möglicherweise darüber hinaus. Der Umfang ist angemessen.
(4)Es handelt sich weithin um eine "klassische" Abituraufgabe. Der Umfang erscheint angemessen, die Schwierigkeit eher im unteren Bereich.

Leistungskurs Analytische Geometrie

(1)Die Aufgabe ist eine klassische Aufgabe zur Analytischen Geometrie und enthält somit etliche typische Standardaufgaben. Aufgrund der derzeitigen Lehrpläne sind nicht mehr alle Aufgabenteile relevant, da z.B. die Untersuchung von Kugeln in den Lehrplänen nicht mehr thematisiert wird. Der Umfang der Aufgabe erscheint angemessen. Das Anforderungsniveau der Aufgabe ist nicht hoch. Die Lösung der Aufgabe erfordert zwar in einigen Aufgabenteilen ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen, aber in keinem Aufgabenteil ist eine selbständige Lösung in dem Sinne erforderlich, die dem Anforderungsbereich III zuzuordnen wäre.
(2)Die Aufgabe liegt in zwei Fassungen vor und ist ein gutes Beispiel dafür, wie man den Umfang einer Klausur für 5 Stunden auf 4,25 Stunden kürzen kann.
(3)Die Aufgabe erfasst im Wesentlichen das Standardrepertoire der analytischen Geometrie. Umfang und Schwierigkeitsgrad sind angemessen.
(4)Die Aufgabe zeigt am Beispiel der Entwicklung einer Population, wie man die Übergangsmatrizen im Abitur thematisieren kann. Die Aufgabe ist vielseitig in der Thematik (periodische Prozesse, Eigenwerte, Gruppen) und gelungen im Zusammenhang der zahlreichen Teilaufgaben. Die Aufgabe spricht alle Anforderungsniveaus ausreichend an. Der Umfang ist bei hinreichend ausführlicher Behandlung im Unterricht angemessen.
(5)Die Aufgabe ist ein gutes Beispiel für Aufgaben zum Thema Übergangsmatrizen gemäß dem neuen Lehrplan. Anforderungen und Umfang sind angemessen. Ein Problem ergibt sich dadurch, dass recht häufig Matrizenmultiplikationen durchgerechnet werden müssen, da ein Einsatz von CAS nicht vorgesehen ist. Das ist wegen der speziellen Form der Matrizen zwar kein großes Unterfangen, aber es handelt sich immer wieder um die gleiche Routine.
(6)Elemente der Matrizenrechnung befinden sich in einem Umfeld, in dem "klassische" Aufgaben der Linearen Algebra (lineare Abbildung, Eigenwerte, Gruppennachweis, Skalarprodukt) zu bearbeiten sind. Der besondere Reiz liegt in der Verknüpfung mit Fragestellungen aus der Analysis (u.a. partielle Integration). Trotz des weiten Themenspektrums ist die Aufgabe für einen Leistungskurs nicht zu umfangreich, die Anforderungen sind nicht zu hoch. Die anzuwendenden Verfahren sind aufgrund der klaren Arbeitsanweisungen naheliegend (ohne CAS).
(7)Die Aufgabe ist ein schönes Beispiel für die neue Aufgabenkultur im Bereich Geometrie. Die Aufgabe ist gut aufgebaut. Sie wechselt zwischen Standardaufgaben und Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad. Der Umfang ist wegen der geforderten Begründungen in Ordnung.
(8)Die Aufgabe zeigt sinnvolle Fragestellungen im Umgang mit Codierungsmatrizen. Es muss jedoch bedacht werden, dass bei allen durchzuführenden Rechenoperationen stets jede Komponente einer Matrix bzw. jeder Koeffizient eines LGS direkt modulo 29 betrachtet werden muss, da ansonsten die erwarteten Resultate nicht erreicht werden können. Von daher kann z.B. ein CAS nicht verwendet werden. Der Umfang der Aufgabe erscheint angemessen. Ist den Schülern die Arbeit mit Restklassen hinreichend bekannt, so kann man die Aufgabe als mittelschwer einstufen.
(9)Diese Anwendungsaufgabe hat Inhalte, die nicht in den Richtlinien vorgesehen sind, und setzt bei den Schülern spezielle Kenntnisse u.a. aus der Physik voraus. Bei entsprechenden unterrichtlichen Vor-aussetzungen sind Umfang und Schwierigkeitsgrad einem Leistungskurs angemessen.
(10)Es handelt sich um eine gut strukturierte Aufgabe zu Übergangsmatrizen mit überzeugendem Anwendungsbezug. Vom Umfang her liegt die Aufgabe am unteren Rande des Ermessensspielraumes. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe ist angemessen.
(11)Die Aufgabe behandelt Matrizen am Beispiel der affinen Abbildungen. Hierbei nehmen die klassischen Aufgabentypen einen breiten Raum ein (Fixgeraden, Fixpunkte, Flächeninhalte von Bilddrei-ecken). Eine leistungskursgemäße Steigerung ergibt sich durch Parametrisierung im letzten Teil der Aufgabe. Umfang und Schwierigkeitsgrad der Aufgabe liegen im mittleren Bereich.
(12)
(13)Ausgehen vom gängigen Diffusionsmodell werden Aspekte der Stochastik und Linearen Algebra miteinander verknüpft (Eigenwerte, Matrizeninv., Markoff). Es überwiegen theoretische, innermathematische Fragestellungen ohne Rückbezug zum Einführungsbeispiel. Aufgrund übersichtlicher Rechengänge hat die Aufgabe ein für einen Leistungskurs angemessenen Umfang und Schwierigkeitsgrad - trotz des abschließenden Beweises ohne CAS).

Grundkurs Analytische Geometrie

(1)Es handelt sich um eine eher klassische Aufgabe zum Thema Parallelprojektion kombiniert mit Analytischer Geometrie. Die Aufgabe erfüllt daher zwar nicht den Anspruch einer "neuen Aufgabenkultur", aber sie ist dennoch ordentlich. Anforderungen und Umfang sind angemessen.
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(3)Die Aufgabe verbindet die Vektorrechnung mit der Verwendung von Matrizen als Projektions- und Drehmatrizen. Umfang und Schwierigkeitsgrad sind für einen Grundkurs angemessen.
(4)Es handelt sich um eine anwendungsorientierte Aufgabe zur linearen Algebra (Lösung von LGS, Ska-larprodukt) mit gut strukturierten Teilaufgaben. Der Umfang der Aufgabe ist angemessen. Die Aufgabe ist anspruchsvoll.

Leistungskurs Stochastik

(1)Es handelt sich um eine "klassische" Stochastikaufgabe. An einem Thema (hier: Verständnis zwischen Nachbarn) werden eine Anzahl von Standardthemen behandelt: Satz von Bayes, hypergeometrische Verteilung, Binomialverteilung und Hypothesentest. Die Aufgabenformulierungen dürften den Schülern in einem Leistungskurs von analogen Aufgabenstellungen her vertraut sein. Umfang und Schwierigkeitsgrad erscheinen angemessen. Sie hängen allerdings ganz erheblich davon ab, in welchem Umfang von den Schülern Erläuterungen zu den Ansätzen und Rechnungen verlangt werden (was oft Schwierigkeiten macht!). Falls hier weniger verlangt wird, sollte eine kleine Teilaufgabe stär-ker in Anforderungsbereich III liegen.
(2)Diese Aufgabe stellt ein gutes Beispiel dar, wie man eine "alte" auf fünf Zeitstunden Arbeitszeit konzipierte Aufgabe sinnvoll auf eine Arbeitszeit von 4,25 Zeitstunden kürzen kann. Ein Erwartungshorizont liegt zwar nicht vor, aber der Umfang der Aufgabe erscheint angemessen und bzgl. der Anforderun-gen kann die Aufgabe durchaus dem mittleren Niveau zugeordnet werden.
(3)Aus einem Zeitungsartikel (leider von 1984), zu dem alle Teilaufgaben in Beziehung stehen, sind die Daten zu entnehmen, die zu Standardfragestellungen der Stochastik führen (Binomialverteilung, Normalverteilung, Hypothesentest, Konfidenzintervall).Die Wahl der Ansätze stellt die Hauptschwierigkeit dar (übliches Problem bei Stochastikaufgaben). Eine sorgfältige Analyse des Textes ist notwendig. An einen derartigen Aufbau der Aufgabe sollten die Schülerinnen und Schüler gewohnt sein - dann für einen Leistungskurs insgesamt angemessen.
(4)Es handelt sich hierbei um eine schöne, gut konstruierte klassische Aufgabe. Positiv ist, dass reale Daten aus Umfragen des "Focus" verwendet werden. Anforderungen und Umfang sind angemessen.
(5)Diese Aufgabe stellt ein gutes Beispiel dar, wie man Fragestellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Fragestellungen der Analysis (Dichte- und Verteilungsfunktion) verknüpfen kann. Der Umfang der Aufgabe erscheint angemessen. Bzgl. des Anforderungsniveaus kann die Aufgabe dem mittleren Niveau zugeordnet werden.
(6)Es handelt sich um eine sehr gut strukturierte Stochastikaufgabe zur Poisson-Verteilung (mit einem Bezug zur Analysis). Der Umfang der Aufgabe ist angemessen. Die Aufgabe ist anspruchsvoll.

Grundkurs Stochastik

(1)Diese Aufgabe erfasst Grundlagenfragen der Stochastik (Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgrößen, Binomialverteilung). Umfang und Schwierigkeit der Aufgabe sind angemessen.
(2)Die Aufgabe behandelt kritisch das Interview eines Mathematikprofessors zur Problematik von Meinungsumfragen. Hier liegt ein echter und nicht gekünstelter Anwendungsbezug von Mathematik vor. Der Umfang der Aufgabe ist angemessen. Der Schwierigkeitsgrad dürfte allerdings für einen "normalen" Grundkursschüler nicht unerheblich sein: die Aufgabenstellung ist teilweise nicht standardisiert, es muss ein längerer Artikel sorgfältig gelesen werden, die statistischen Verfahren müssen gut verstanden sein und beherrscht werden.
(3)Es handelt sich um eine Stochastikaufgabe mit abwechslungsreichen und gut strukturierten Teilaufgaben, basierend auf echtem Zahlenmaterial eines Meinungsforschungsinstitutes. Umfang und Schwierigkeitsgrad sind angemessen.
(4)Überlegungen zum Verlauf von Krankheitsepidemien stellen den Leitfaden für die Aufgabe dar, die in zwei voneinander unabhängige Teile gegliedert ist.
Teilaufgabe 1: elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
Teilaufgabe 2: stochastischer Prozess mit 5 Zuständen (hier ist CAS-Einsatz angebracht).
Es wird nur ein Halbjahr Stochastik vorausgesetzt. Die Aufgabe liegt dennoch von Umfang und Schwierigkeitsgrad (insbesondere Teilaufgabe 1) her an der unteren Grenze.

Sonstiges: Kompletter Vorschlag von Frau Hachtel

(1)Es ist ein sehr schöner Vorschlag zum sinnvollen Einsatz vom TI 92. Die Aufgaben sind für den Ein-satz des Rechners sinnvoll ausgewählt. Die Kursplanung ist durchdacht. So werden z.B. im Bereich Geometrie auf interessante Art Vektorräume betrachtet, es erschöpft sich aber nicht in den oft langweiligen Fragen zu diesem Thema, sondert es mündet auch hier in einen sinnvollen Einsatz des TI 92. Anforderung und Umfang dürften hier entscheidend vom Unterricht abhängen.