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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe GK Analysis

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

  1. Die Terme einer ganz-rationalen Funktion 3. Grades und ihrer ersten beiden Ableitungen lauten:
    ¦ (x)= ax3 + bx2 + cx +d ,
    ¦ ¢ (x)= 3ax2 + 2bx +c ,
    ¦ ¢ ¢ (x)= 6ax +2b , a, b, c, dIR , a0
    Aufgrund der genannten Eigenschaften des Graphen gilt:
    ¦ (0)=0, , ¦ ¢ (3)=¦ ¢ (5), ¦ ¢ (xW)= –3, wobei ¦ ¢ ¢ (xW)=0
    Aus der ersten Bedingung erhält man . Die übrigen Aussagen liefern damit:
    (1) d = 0
    (2)
    (3) 27a + 6b +c = 75a + 10b + c
    (4)
    Lösung des Gleichungssytems:
    d = 0

    -48a - 4b = 0

    Û
    d = 0
    b = -12a

    –48a + c = –3
    Û
    d = 0
    b = -12a


    Es ergibt sich: , b = –3, c = 9, d = 0, so daß
  2. Es ist g(0) = 0 und . Der Graph von g verläuft also durch die Punkte O (0;0) und P1(3;6,75). Wegen ist und auch . Die Tangenten in P1 und P2 sind daher parallel. Aus folgt: g¢ ¢ besitzt als Nullstellen nur xW=4 und wechselt dort das Vorzeichen.
    g(4) = 16 – 48 + 36 = 4 Der Graph von g hat daher den Wendepunkt W(4;4). Die Wendetangente besitzt die Steigung m = g¢ (4) = 12 – 24 9 = –3. Damit sind für g die unter Aufgabenteil a) genannten Eigenschaften nachgewiesen.
    Aus ergeben sich die Nullstellen x01=0 (einfach) und x02=6 (zweifach). Der Graph von g schneidet daher die x-Achse in O(0;0) und berührt sie in N(6;0).
    Aus liest man als Nullstellen von g¢ ab: x11=2 und x12=6.
     
    g¢(x) >0 <0 >0
    g(x) steigend fallend steigend


    Der Graph von g besitzt daher den Hochpunkt H(2;8) und den Tiefpunkt T(6;0).

  3. Die Abszissen gemeinsamer Punkte der Graphen von g und hz erhält man als die Lösungen der Gleichung
    Äquivalenzumformungen führen zu: ,

    Lösungen sind also: x1 = 0, ,
    Kein gemeinsamer Punkt mit positiver Abszisse ergibt sich, wenn 4t<0, also t<5 ist.
    Zwei gemeinsame Punkte mit positiver Abszisse erhält man, falls 0<4t–20<16, d. h. 5<t<9.
    Aus der Geometrie der Kurven und der Einfachheit der Lösungen geht hervor, daß es sich um Schnittpunkte handelt. Lediglich wenn x2=x3 wird, rücken sie zu einem Punkt zusammen. Nur in diesem Fall, d. h. nur für 4t–20=0 oder t=5 berühren sich daher die Kurven von g und in einem Punkt mit positiver Abszisse. Berührpunkt ist dann W(4;4).
    Aus folgt, daß der Graph von h5 eine nach unten geöffnete Normalparabel ist, die die x-Achse bei 0 und 5 schneidet und den Scheitelpunkt S (2,5;6,25) besitzt. Im Intervall [0;4] ist daher g(x)³ h5(x), und das von den Kurven zu g und h5 umschlossene Flächenstück besitzt den Inhalt:

  4. Zeichnung:

    x g(x)
    1 6,25
    7 1,75
    8 8


    Funktionsgraph

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen