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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe GK Analysis
von Michael Rüsing, B.M.V.-Schule Essen

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

  1. Die Zulaufrate muss 0 sein: z(t)=0. Also t3 - 12t2 +35t = 0 mit den Lösungen t=0; t=5; t=7.

    Es gibt 3 Zeitpunkte, an denen Wasser weder zu- noch abläuft: 0 h, 5 h, 7 h.

    Untersuche den Wert der Zulaufratenfunktion zwischen diesen Zeitpunkten:

    z(1)>0, also im Zeitraum [0;5] fließt Wasser zu;

    z(6)<0, also im Zeitraum [5;7] fließt Wasser ab;

    z(7,5)>0, also im Zeitraum [7;8] fließt Wasser zu.

  2. Extremwerte von z können am Intervallrand oder bei den relativen Extrema liegen.

    Für die relativen Extrema werden waagerechte Tangenten an den Graphen von z gesucht. Die Tangentensteigung wird durch die Ableitung gegeben. z'(t)=3t2 - 24t + 35

    Waagerechte Tangenten haben die Steigung 0: . Bei diesen t-Werten liegen Extrema oder Wendepunkte mit waagerechter Tangente vor.

    Untersuche die Steigung des Graphen von z links und rechts dieser Werte:

    z'(1)>0, der Graph von z steigt; z'(2)<0, der Graph von z fällt. Bei t2 liegt ein relativer Hochpunkt vor mit der Zulaufrate .

    z'(7)>0, der Graph von z steigt. Bei t1 liegt ein relativer Tiefpunkt vor mit

    Untersuche die Intervallränder: z(0)=0, z(8)=24.

    Zum Zeitpunkt liegt die maximale Zulaufrate vor.

  3. Nach den bisherigen Ergebnissen ist zu diesem Zeitpunkt die Zulaufrate negativ, es fließt also Wasser ab. Außerdem liegt zu diesem Zeitpunkt das relative und absolute Minimum vor. Es liegt also der maximale Wasserablauf zu diesem Zeitpunkt vor.
  4. Die Änderung der Zulaufrate wird durch z' angegeben. Gesucht ist der betragsmäßig größte Wert von z'. Erläuterungen und Begründungen erfolgen analog zu Teil b):
    Waagerechte Tangenten des Graphen von z': z''(t)=0, also 6t - 24 =0 mit der Lösung t=4. Hier kann ein Extremum vorliegen. Untersuche die Steigung des Graphen von z' links und rechts davon.
    z''(3)<0; z''(5)>0. Es liegt ein Minimum vor mit dem Wert z'(4)=-13. Das Maximum muß am Intervallrand liegen. z'(0)=z'(8)=35. Die Änderung von z ist am linken und rechten Intervallrand maximal.

    Alternativlösung: Der Graph von z' ist eine nach obengeöffnete Parabel. Wegen der Lage der Nullstellen befindet sich der Scheitelpunkt bei 4 ....


  5. Wenn die Zulaufrate konstant wäre, würde die zugelaufenen Wassermenge durch Multiplikation mit der Zeit ermittelt. Deshalb muß integriert werden . Es sind 88m3 zugelaufen, also befinden sich 92m3 Wasser im Becken.
  6. Das Volumen des insgesamt zugelaufenen Wassers muß 0 sein. Bis zum Zeitpunkt t1 ist zugelaufen: . Da die quadratische Gleichung keine reelle Lösung hat, gibt es einen solchen Zeitpunkt nicht.
  7. Entweder wird das Maximum der durch gegebenen Funktion gesucht oder die Schülerinnen argumentieren, dass maximaler Inhalt nur dann vorliegen kann, wenn eine Zulaufphase abgeschlossen ist, also V(5)=97,75; V(8)=100. Damit ist das Becken am Ende des Intervalls mit 100m3 maximal gefüllt.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen