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Mathe-Treff: Abituraufgabe GK Analysis
von Dr. Nobert Esper, Michael-Ende-Gymnasium Tönisvorst

Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Zwei Fernstraßen s1, von links oben kommend, und s2, welche auf der x-Achse verläuft, treffen sich mitten im Ort. Um die Belästigung der Anwohner abzuwenden, wird eine Umgehungsstraße geplant.


Gesucht ist eine Funktion, die in den Punkten P1 und P2 glatt an die bestehenden Straßen s1 und s2 anschließt und den Ortskern dadurch umgeht, dass sie durch den Punkt P3 verläuft.

  1. Stellen Sie zuerst in mathematischer Schreibweise die Bedingungen dar.
  2. Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierter Ordnung, die die Bedingungen erfüllt und zeichnen Sie den Graph zusammen mit den bestehenden Straßen in ein Koordinatensystem.
  3. Bei ähnlichen Planungen wurde eine Trassenführung gemäß dem Funktionsterm

    entwickelt.
    Untersuchen Sie, wie gut diese Funktion die vorgegeben Bedingungen erfüllt.
  4. An welchen Stellen ändert sich die Lenkrichtung von f?
  5. Was können Sie über eine notwendige Beschränkung der Höchstgeschwindigkeit auf der Umgehungsstraße f aufgrund beiliegendem Geschwindigkeitsdiagramm sagen? Dabei ist eine Einheit als 1 km zu interpretieren. Was können Sie über den Übergang von f zu den beiden existierenden Straßen s1 und s2 sagen?
  6. Vergleichen Sie die Größe der Fläche zwischen der x-Achse und den Trassen von f bzw. der von Ihnen berechneten Trasse zwischen den beiden Anschlussstellen?

Grafik gkaly3-3.jpg (1072x1665 - 196kB)

Unterrichtliche Voraussetzungen - Erwartungshorizont