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Mathe-Treff: Lösung der Abituraufgabe GK Analysis
von Dr. Norbert Esper, Michael-Ende-Gymnasium Tönisvorst

Lösung der Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

zu a)

Bedingungen:

i) Anschluss ohne Sprünge an die bestehenden Straßen in P1 und P3:
g(-2) = 3
g(3) = 0

ii) Durchgang durch P3
g(1) = 2

iii) glatter Übergang an die bestehenden Straßen
g‘(-2) = -2, da die Steigung der bestehenden Straße s1 gleich –2 ist
g‘(3) = 0, da die Steigung von s2 gleich 0 ist.

zu b)

Die Eingabe des allgemeinen Funktionsterms und der Bedingungen führt zu folgenden Gleichungen:

Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem mit folgender Matrix:

Dies führt zu folgender Lösung:

Die gesuchte Funktion hat also folgenden Term

Man kann die glatten Übergänge erkennen, außerdem führt die Straße nicht mehr durch den Ort.

zu c)

Man erkennt, dass die Bedingungen nicht genau eingehalten werden. Die größte Abweichung zeigt sich am Übergang zur Straße 1, dort ist die Steigung nicht –2 sondern –0,5. Dies läßt sich auch am Graph ablesen:

zu d)

Die Lenkrichtung ändert sich anden Stellen, an denen die zweite Ableitung ein Vorzeichenwechsel hat.

Das bedeutet, an den beiden Nullstellen der zweiten Ableitung liegt ein Vorzeichenwechsel vor. Damit findet an den Stellen bei ungefähr –1,072 und 1,648 eine Änderung der Lenkrichtung statt.

zu e)

Die Werte größter Krümmung geben sie Stellen an, an denen die niedrigste Geschwindigkeit gefahren werden muss.

Der Graph Krümmungsfunktion von f hat folgendes Aussehen:

Da die Lösung aufgrund des komplizierten Terms nicht exakt bestimmt werden kann, geschieht dies mit Hilfe des Rechners numerisch.
Das vom Betrag her lokale Maximum ist kleiner als das aus dem Graph für die Krümmungsfunktion von f abzulesende Randextremum an der Stelle x=3 mit y ungefähr 2,5644. Der zugehörige Radius ist 1/ krg1(3), also ungefähr 0,39. Bei der angegebenen Einheit entspricht das einem Radius von 390m. Nach dem beiligenden Diagramm ist keine Geschwindigkeitsbegrenzeung nötig, da die mögliche Geschwindigkeit über 100 km/h liegen kann.
Am Übergang zu den Straßen gibt es starke Lenkbewegungen, da die Krümmengen der Geraden beide gleich Null sind.

zu f)

Es ist das Integral zwischen der x-Achse und dem Graph der Funktion im Intervall von x = -2 und x = 3 zu berechnen.

Die benötigte Fläche für die Trasse g1 ist kleiner als die von f.

Aufgabentext - Unterrichtliche Voraussetzungen