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Mathe-Treff: Abituraufgabe GK Analysis
von Maike Schmidt, Gesamtschule Hardt Mönchengladbach

Abituraufgabe für den Grundkurs Mathematik.
Teilbereich: Analysis.

Gegeben sei die Funktionenschar fa(x) = ax³ - 3ax² mit a Î IR +.

  1. Untersuchen Sie die Funktionenschar auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.
  2. Skizzieren Sie den Verlauf der Graphen von f1 und f2 anhand der ermittelten Punkte.
  3. Welchen Einfluss hat die Wahl des Parameters a auf den Verlauf der Graphen der Schar? Führen Sie dazu eine geeignete Fallunterscheidung durch.
    Wie ändert sich der Verlauf der Graphen, wenn auch negative Werte für den Parameter a zugelassen werden?

Sei im folgenden a = 1.

  1. Ein Glasdesigner möchte ein neues Cocktailglas entwerfen, dessen Randkurve durch die Funktion f1(x) = x³ - 3x² dargestellt wird (s. Skizze). Der Fuß des Glases soll die gleiche Breite wie der Kelch an seiner breitesten Stelle haben. Ermitteln Sie die Höhe des Fußes.

Fuß Kelch

  1. Berechnen Sie die Füllmenge des Glases, wenn der Kelch nur eine Höhe von 2 LE besitzt.

Unterrichtliche Voraussetzungen  - Erwartungshorizont